Дана трапеция ABCD с основаниями AD=20,BC=8,O-точка пересечения диагоналей. Разложите вектор DO по векторам...

Для начала найдем вектор DO. Он равен разности вектора D до точки O и вектора O до точки A: DO = OA - OD.

Так как точка O является точкой пересечения диагоналей, то вектор OA и вектор OD являются диагоналями трапеции. Поскольку диагонали трапеции делятся пополам, вектор OA равен полусумме векторов AD и BC, а вектор OD равен полусумме векторов AB и CD.

Таким образом, вектор OA = 0.5(AD + BC) = 0.5(a + b) и вектор OD = 0.5(AB + CD) = 0.5(b + a).

Теперь можем выразить вектор DO через векторы a и b: DO = OA - OD = 0.5(a + b) - 0.5(b + a) = 0.5a + 0.5b - 0.5b - 0.5a = 0.

Итак, вектор DO равен нулю.

Для решения задачи о разложении вектора ( \vec{DO} ) по базису, состоящему из векторов ( \vec{a} = \vec{AD} ) и ( \vec{b} = \vec{AB} ), сначала установим некоторые важные свойства трапеции и точки пересечения диагоналей.

Свойства точки пересечения диагоналей трапеции: В трапеции точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ на отрезки, которые пропорциональны длинам оснований. То есть, если обозначить точку пересечения диагоналей как ( O ), то отношение длин отрезков диагонали ( AO ) к ( OC ) равно отношению длин оснований ( AD ) к ( BC ). Так как ( AD = 20 ), а ( BC = 8 ), то ( \frac{AO}{OC} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} ).

Выражение вектора ( \vec{DO} ) через базис: Запишем вектор ( \vec{DO} ) как линейную комбинацию векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ): [ \vec{DO} = x\vec{a} + y\vec{b} ]

Для того чтобы найти коэффициенты ( x ) и ( y ), воспользуемся свойством деления диагоналей точкой ( O ). Нам известно, что ( \vec{DO} = \vec{DC} + \vec{CO} ). Так как ( O ) делит диагональ ( AC ) в отношении ( 5:2 ) начиная от точки ( A ), а ( \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{a} + \vec{b} ), то ( \vec{CO} = -\frac{2}{7}\vec{AC} = -\frac{2}{7}(\vec{a} + \vec{b}) ). Следовательно, [ \vec{DO} = \vec{DC} - \frac{2}{7}(\vec{a} + \vec{b}) ]

Теперь рассмотрим вектор ( \vec{DC} ). Поскольку ( \vec{DC} = -\vec{CD} ), и ( \vec{CD} = -\vec{AD} + \vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b} ), то ( \vec{DC} = \vec{a} - \vec{b} ). Таким образом, [ \vec{DO} = (\vec{a} - \vec{b}) - \frac{2}{7}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{5}{7}\vec{a} - \frac{9}{7}\vec{b} ]

Итак, коэффициенты ( x ) и ( y ) в разложении вектора ( \vec{DO} ) по базису из ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) равны: [ x = \frac{5}{7}, \quad y = -\frac{9}{7} ]

Таким образом, ( \vec{DO} = \frac{5}{7}\vec{AD} - \frac{9}{7}\vec{AB} ).

Вектор DO = (3/5) вектор a + (4/5) вектор b.