Дано: А (2,-3) В (-4, 1) С (-3, -2) Найти: а) координаты векторов АВ, СВ. б) координаты середины отрезков...

Для решения задачи нам нужно применить основные понятия векторной алгебры и геометрии на плоскости. Рассмотрим каждую часть задания последовательно.

а) Координаты векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CB})

Координаты вектора (\overrightarrow{AB}) можно найти, вычтя координаты точки (A) из координат точки (B):

[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-4, 1) - (2, -3) = (-4 - 2, 1 - (-3)) = (-6, 4) ]

Координаты вектора (\overrightarrow{CB}) можно найти аналогично, вычтя координаты точки (C) из координат точки (B):

[ \overrightarrow{CB} = B - C = (-4, 1) - (-3, -2) = (-4 - (-3), 1 - (-2)) = (-4 + 3, 1 + 2) = (-1, 3) ]

б) Координаты середины отрезков (AC) и (BC)

Координаты середины отрезка (AC) можно найти как среднее арифметическое координат точек (A) и (C):

[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + (-3)}{2}, \frac{-3 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{2 - 3}{2}, \frac{-3 - 2}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}, \frac{-5}{2} \right) ]

Координаты середины отрезка (BC) можно найти аналогично, взяв среднее арифметическое координат точек (B) и (C):

[ M_{BC} = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-4 + (-3)}{2}, \frac{1 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{-4 - 3}{2}, \frac{1 - 2}{2} \right) = \left( \frac{-7}{2}, \frac{-1}{2} \right) ]

в) Расстояние между точками (A) и (B), (B) и (C)

Расстояние между двумя точками (A(x_1, y_1)) и (B(x_2, y_2)) на плоскости можно найти по формуле:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Для расстояния между точками (A) и (B):

[ d_{AB} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ]

Для расстояния между точками (B) и (C):

[ d_{BC} = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} ]

Таким образом, ответы на поставленные вопросы следующие:

а) Координаты векторов:

• (\overrightarrow{AB} = (-6, 4))
• (\overrightarrow{CB} = (-1, 3))

б) Координаты середины отрезков:

• (M_{AC} = \left( \frac{-1}{2}, \frac{-5}{2} \right))
• (M_{BC} = \left( \frac{-7}{2}, \frac{-1}{2} \right))

в) Расстояние между точками:

• (d_{AB} = 2\sqrt{13})
• (d_{BC} = \sqrt{10})

а) Координаты вектора АВ найдем как разность координат конечной точки B и начальной точки A: Вектор АВ = (-4 - 2, 1 - (-3)) = (-6, 4)

Координаты вектора СВ: Вектор СВ = (-4 - (-3), 1 - (-2)) = (-1, 3)

б) Чтобы найти координаты середины отрезка АС, Воспользуемся формулой нахождения точки, делящей отрезок в отношении m:n: X = (mx2 + nx1) / (m + n), Y = (my2 + ny1) / (m + n)

Для отрезка АС, возьмем m = n = 1: Середина отрезка АС = ((-3 + 2) / 2, (-2 - 3) / 2) = (-0.5, -2.5)

Аналогично для отрезка ВС: Середина отрезка ВС = ((-3 + (-4)) / 2, (-2 + 1) / 2) = (-3.5, -0.5)

в) Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) можно найти используя теорему Пифагора: AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Расстояние между точками А и В: AB = sqrt((-4 - 2)^2 + (1 - (-3))^2) = sqrt((-6)^2 + (4)^2) = sqrt(36 + 16) = sqrt(52) = 2*sqrt(13)

Расстояние между точками В и С: BC = sqrt((-3 - (-4))^2 + (1 - (-2))^2) = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10)