Дано: ∠А=30°, ∠АВС=60°, DВ⊥( АВС) Доказать, что СD ⊥АС

Для решения данной задачи сначала нужно понять, что из себя представляет данная фигура. У нас есть треугольник ( \triangle ABC ) с углами (\angle A = 30^\circ) и (\angle ABC = 60^\circ). Также дано, что ( DB ) перпендикулярно плоскости ( \triangle ABC ). Нам нужно доказать, что ( CD \perp AC ).

Пойдем по шагам:

1. Понять геометрическую конфигурацию:

   • Угол (\angle A = 30^\circ).
   • Угол (\angle ABC = 60^\circ).
   • ( DB ) перпендикулярно плоскости (\triangle ABC), то есть, ( D ) — это точка, которая находится вне плоскости (\triangle ABC), и ( BD ) перпендикулярно каждому отрезку в плоскости (\triangle ABC), проходящему через точку ( B ).

2. Определить углы и треугольники:

   • В треугольнике ( \triangle ABC ) сумма углов равна ( 180^\circ ). Поэтому: [ \angle BCA = 180^\circ - \angle A - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ ] Таким образом, треугольник ( \triangle ABC ) прямоугольный с прямым углом при вершине ( C ).

3. Анализ перпендикулярных отрезков:

   • ( DB \perp \triangle ABC ) означает, что ( DB ) перпендикулярно любой прямой в плоскости (\triangle ABC), проходящей через точку ( B ).

4. Проверка перпендикулярности ( CD ) и ( AC ):

   • Рассмотрим отрезок ( CD ). Чтобы доказать, что ( CD \perp AC ), нужно проверить, что угол между ( CD ) и ( AC ) равен ( 90^\circ ).

   Рассмотрим треугольник ( \triangle BDC ):

   • Отрезок ( BD ) перпендикулярен плоскости ( \triangle ABC ), и ( BC ) лежит в этой плоскости. Значит, ( BD \perp BC ).
   • Угол ( \angle BCA = 90^\circ ) (по пункту 2).

   Теперь рассмотрим отрезок ( AC ):

   • ( AC ) также лежит в плоскости (\triangle ABC).

   Рассмотрим плоскость, проходящую через ( AC ) и ( CD ) (эта плоскость будет перпендикулярна ( BD ) на основании того, что ( BD \perp \triangle ABC )). Поскольку ( BD ) перпендикулярно ( AC ) и ( CD ), то ( CD ) должно быть перпендикулярно ( AC ), так как они лежат в одной плоскости, перпендикулярной ( BD ).

Таким образом, на основании вышеизложенного доказательства, можно заключить, что ( CD ) действительно перпендикулярно ( AC ).

Для доказательства того, что CD ⊥ AC, нам нужно рассмотреть треугольники ACD и ACS.

У нас есть:

1. ∠А = 30°
2. ∠АВС = 60°
3. BD ⊥ (АВС) (т.е. BD перпендикулярно к прямой ABS)

Из данных углов мы можем найти, что ∠С = 180° - ∠АВС = 180° - 60° = 120°.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. У нас есть два угла: ∠А = 30° и ∠С = 120°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠ADC = 180° - 30° - 120° = 30°.

Теперь обратим внимание на треугольник ACS. У нас есть угол ∠С = 120° и угол ∠АСD = 90° (так как BD ⊥ (АВС)). Сумма углов в этом треугольнике также равна 180°, поэтому ∠ASC = 180° - 120° - 90° = 30°.

Итак, мы видим, что ∠ADC = ∠ASC = 30°. Это означает, что отрезки CD и AC пересекаются под углом 30°, следовательно, CD ⊥ AC.