Дано, что |а| = 3, |b| = 5. Определить, при каком значении α векторы a + αb, a - αb будут взаимно перпендикулярны.

Чтобы определить значение (\alpha), при котором векторы ( \mathbf{a} + \alpha \mathbf{b} ) и ( \mathbf{a} - \alpha \mathbf{b} ) будут взаимно перпендикулярны, нужно использовать условие перпендикулярности векторов. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Рассмотрим векторы ( \mathbf{a} + \alpha \mathbf{b} ) и ( \mathbf{a} - \alpha \mathbf{b} ): [ (\mathbf{a} + \alpha \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \alpha \mathbf{b}) = 0 ]

Раскроем скалярное произведение: [ (\mathbf{a} + \alpha \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \alpha \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \alpha \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \alpha \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - \alpha^2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} ]

Так как скалярное произведение коммутативно ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a})), упростим выражение: [ = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \alpha^2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} ]

Теперь подставим известные величины: (|\mathbf{a}| = 3) и (|\mathbf{b}| = 5). Следовательно, (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 = 3^2 = 9) и (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = 5^2 = 25).

Подставим эти значения в уравнение: [ 9 - \alpha^2 \times 25 = 0 ]

Решив это уравнение для (\alpha), получим: [ 9 = 25\alpha^2 ]

[ \alpha^2 = \frac{9}{25} ]

[ \alpha = \pm \frac{3}{5} ]

Таким образом, векторы ( \mathbf{a} + \alpha \mathbf{b} ) и ( \mathbf{a} - \alpha \mathbf{b} ) будут взаимно перпендикулярны при (\alpha = \frac{3}{5}) или (\alpha = -\frac{3}{5}).

Для того чтобы векторы a + αb и a - αb были взаимно перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

(a + αb) • (a - αb) = 0

(a • a) + 2α(a • b) + α^2(b • b) = 0

Так как |a| = 3 и |b| = 5, то a • a = 3^2 = 9, b • b = 5^2 = 25. Также известно, что a • b = |a||b|cos(θ), где θ - угол между векторами a и b. Так как векторы a и b должны быть перпендикулярными, то cos(θ) = 0, следовательно a • b = 0.

Таким образом, уравнение принимает вид:

9 + 2α(0) + α^2(25) = 0

9 + 25α^2 = 0

25α^2 = -9

α^2 = -9/25

α = ±3/5

Таким образом, при значениях α = -3/5 и α = 3/5 векторы a + αb и a - αb будут взаимно перпендикулярными.