Дано: Δ АBC, AB = BC = AC, О - центр Δ АBC, DO ⊥ (АВС), DM = 5, DO = 4. Найдите: PΔABC ,AD, BD, DC.

Итак, у нас есть равносторонний треугольник ABC с центром O. Поскольку AD - медиана треугольника, она делит сторону BC пополам. Таким образом, BD = DC = 5.

Также, поскольку DO - высота треугольника, а DM = 5, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны треугольника. Таким образом, AD = √(4^2 + 5^2) = √41.

Теперь найдем периметр треугольника ABC. Поскольку все стороны равны, периметр равен P = AB + BC + AC = 3AB. Таким образом, PΔABC = 3√41.

Итак, мы нашли все искомые значения: PΔABC = 3√41, AD = √41, BD = DC = 5.

Рассмотрим треугольник ( \Delta ABC ) с равными сторонами ( AB = BC = AC ). Это означает, что треугольник является равносторонним.

О - центр треугольника ( \Delta ABC ), а также центр его описанной окружности. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности и с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.

Пусть ( D ) - точка на плоскости треугольника ( \Delta ABC ), такая что ( DO \perp (ABC) ). Это означает, что ( D ) находится на высоте, опущенной из центра ( O ) на плоскость ( ABC ).

Пусть ( DM = 5 ) и ( DO = 4 ). ( M ) - точка на плоскости треугольника ( \Delta ABC ), которая является проекцией точки ( D ) на эту плоскость.

Рассмотрим высоту ( AD ) треугольника ( \Delta ABC ) из вершины ( A ) на сторону ( BC ). Поскольку ( \Delta ABC ) равносторонний, все высоты, медианы и биссектрисы в нём равны и проходят через центр ( O ).

Теперь найдем периметр треугольника ( \Delta ABC ). Обозначим сторону треугольника ( \Delta ABC ) через ( a ). Высота ( h ) равностороннего треугольника может быть найдена по формуле: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a ]

В равностороннем треугольнике медиана равна высоте, и она делится центром на две равные части. Таким образом, высота ( DO ) из точки ( D ) на плоскость ( ABC ) будет равна высоте треугольника минус отрезок ( DO ): [ AD = DO + \sqrt{DM^2 - DO^2} ] [ AD = 4 + \sqrt{5^2 - 4^2} = 4 + \sqrt{25 - 16} = 4 + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 ]

Так как ( AD = 7 ), и это высота равностороннего треугольника, можно выразить сторону ( a ) через эту высоту: [ a = \frac{2AD}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 7}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14 \sqrt{3}}{3} ]

Теперь найдем периметр треугольника ( \Delta ABC ): [ P_{\Delta ABC} = 3a = 3 \cdot \frac{14 \sqrt{3}}{3} = 14 \sqrt{3} ]

Так как ( AB = BC = AC ), все стороны треугольника равны: [ AB = BC = AC = a = \frac{14 \sqrt{3}}{3} ]

Итак, мы нашли:

1. Периметр треугольника ( \Delta ABC ): ( P_{\Delta ABC} = 14 \sqrt{3} )
2. Длины отрезков ( AD, BD, DC ) будут равны, поскольку ( AD ) - высота равностороннего треугольника, а ( D ) - центр описанной окружности: [ AD = BD = DC = 7 ]

Ответ: [ P_{\Delta ABC} = 14 \sqrt{3} ] [ AD = 7 ] [ BD = 7 ] [ DC = 7 ]