Дано равнобедренный треугольник АВС , АС=16 АВ=17 найти r и R

Для нахождения радиуса вписанной окружности (r) и описанной окружности (R) в равнобедренном треугольнике, где АС = 16 и АВ = 17, мы можем воспользоваться формулами:

r = (a + b - c) / 2 R = a / 2sin(α)

Где a и b - это стороны треугольника, c - основание треугольника, а α - угол при вершине треугольника.

Из условия равнобедренности треугольника следует, что AC = BC. Таким образом, мы имеем две равные стороны и одну основание. Следовательно, у нас есть равносторонний треугольник. Из этого следует, что угол при вершине треугольника равен 60 градусам.

Теперь мы можем подставить известные значения в формулы:

r = (16 + 17 - 17) / 2 = 8 R = 17 / 2sin(60) = 17 / 2 * √3 / 2 = 17√3 / 4

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 8, а радиус описанной окружности равен 17√3 / 4.

Для равнобедренного треугольника с основанием 17 и боковой стороной 16 радиус описанной окружности R равен 17/2, а радиус вписанной окружности r равен 8.

Для решения этой задачи найдем радиусы вписанной (r) и описанной (R) окружностей равнобедренного треугольника ( \triangle ABC ) с данными сторонами ( AC = 16 ) и ( AB = 17 ).

Шаг 1: Найдем основание ( BC ).

Поскольку треугольник равнобедренный, стороны ( AB ) и ( AC ) равны. Для нахождения основания ( BC ) используем теорему косинусов в ( \triangle ABC ):

[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) ]

Поскольку ( AB = AC ), то ( \angle BAC = 60^\circ ) (угол между равными сторонами в равнобедренном треугольнике равен 60 градусов, если это равносторонний треугольник, но здесь это не так, уточним это позже). Пока найдём ( BC ) через теорему косинусов:

[ BC^2 = 17^2 + 16^2 - 2 \cdot 17 \cdot 16 \cdot \cos(\angle BAC) ]

Чтобы найти ( \cos(\angle BAC) ), сначала найдем высоту ( h ) из вершины ( A ) на основание ( BC ). Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам:

[ h^2 + 8^2 = 17^2 ]

[ h^2 = 289 - 64 = 225 \quad \Rightarrow \quad h = 15 ]

Теперь используем эту высоту для нахождения ( BC ):

[ BC = 2 \sqrt{17^2 - 15^2} = 2 \sqrt{289 - 225} = 2 \cdot 8 = 16 ]

Шаг 2: Найдем радиус описанной окружности ( R ).

Формула для радиуса описанной окружности в треугольнике:

[ R = \frac{abc}{4K} ]

где ( a = 17 ), ( b = 17 ), ( c = 16 ), и ( K ) — площадь треугольника. Площадь можно найти через высоту:

[ K = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120 ]

Теперь подставим значения в формулу для ( R ):

[ R = \frac{17 \cdot 17 \cdot 16}{4 \cdot 120} = \frac{4624}{480} = \frac{289}{30} ]

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности ( r ).

Формула для радиуса вписанной окружности:

[ r = \frac{K}{s} ]

где ( s ) — полупериметр треугольника:

[ s = \frac{17 + 17 + 16}{2} = 25 ]

Теперь найдем ( r ):

[ r = \frac{120}{25} = 4.8 ]

Итак, радиус описанной окружности ( R = \frac{289}{30} ), а радиус вписанной окружности ( r = 4.8 ).