Дано равнобедренный треугольник АВС , АС=16 АВ=17 найти r и R

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ и описанной окружности $R$ в равнобедренном треугольнике, где АС = 16 и АВ = 17, мы можем воспользоваться формулами:

r = $a+b-c$ / 2 R = a / 2sin$\alpha$

Где a и b - это стороны треугольника, c - основание треугольника, а α - угол при вершине треугольника.

Из условия равнобедренности треугольника следует, что AC = BC. Таким образом, мы имеем две равные стороны и одну основание. Следовательно, у нас есть равносторонний треугольник. Из этого следует, что угол при вершине треугольника равен 60 градусам.

Теперь мы можем подставить известные значения в формулы:

r = $16+17-17$ / 2 = 8 R = 17 / 2sin$60$ = 17 / 2 * √3 / 2 = 17√3 / 4

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 8, а радиус описанной окружности равен 17√3 / 4.

Для равнобедренного треугольника с основанием 17 и боковой стороной 16 радиус описанной окружности R равен 17/2, а радиус вписанной окружности r равен 8.

Для решения этой задачи найдем радиусы вписанной $r$ и описанной $R$ окружностей равнобедренного треугольника $\mathrm{△}ABC$ с данными сторонами $AC=16$ и $AB=17$.

Шаг 1: Найдем основание $BC$.

Поскольку треугольник равнобедренный, стороны $AB$ и $AC$ равны. Для нахождения основания $BC$ используем теорему косинусов в $\mathrm{△}ABC$:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$

Поскольку $AB=AC$, то $\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }$ $уголмеждуравнымисторонамивравнобедренномтреугольникеравен60градусов,еслиэторавностороннийтреугольник,ноздесьэтонетак,уточнимэтопозже$. Пока найдём $BC$ через теорему косинусов:

$B{C}^2={17}^2+{16}^2-2\cdot 17\cdot 16\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$

Чтобы найти $\cos (\mathrm{\angle }BAC$ ), сначала найдем высоту $h$ из вершины $A$ на основание $BC$. Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам:

$h^2+8^2={17}^2$

$h^2=289-64=225\Rightarrow h=15$

Теперь используем эту высоту для нахождения $BC$:

$BC=2\sqrt{{17}^2-{15}^2}=2\sqrt{289-225}=2\cdot 8=16$

Шаг 2: Найдем радиус описанной окружности $R$.

Формула для радиуса описанной окружности в треугольнике:

$R=\frac{abc}{4K}$

где $a=17$, $b=17$, $c=16$, и $K$ — площадь треугольника. Площадь можно найти через высоту:

$K=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 15=120$

Теперь подставим значения в формулу для $R$:

$R=\frac{17\cdot 17\cdot 16}{4\cdot 120}=\frac{4624}{480}=\frac{289}{30}$

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности $r$.

Формула для радиуса вписанной окружности:

$r=\frac{K}{s}$

где $s$ — полупериметр треугольника:

$s=\frac{17+17+16}{2}=25$

Теперь найдем $r$:

$r=\frac{120}{25}=4.8$

Итак, радиус описанной окружности $R=\frac{289}{30}$, а радиус вписанной окружности $r=4.8$.