Дано: треугольник ABC AB=BC угол B=36градусов AD-бессектриса Доказать: треуг.CDA и треуг ABD -равнобедрен

Для доказательства того, что треугольники CDA и ABD равнобедренные, мы воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и биссектрисы.

Дано:

• Треугольник ( ABC ) равнобедренный с ( AB = BC ).
• Угол ( B = 36^\circ ).
• ( AD ) — биссектриса угла ( A ).

Требуется доказать:

• ( \triangle CDA ) и ( \triangle ABD ) — равнобедренные.

Доказательство:

1. Углы в треугольнике ( ABC ):

   • Так как треугольник ( ABC ) равнобедренный и ( AB = BC ), то углы при основании равны: ( \angle A = \angle C ).
   • Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ). Следовательно: [ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ ] [ \angle A + 36^\circ + \angle A = 180^\circ ] [ 2\angle A = 144^\circ ] [ \angle A = 72^\circ ] [ \angle C = 72^\circ ]

2. Работа с биссектрисой ( AD ):

   • Биссектриса ( AD ) делит угол ( \angle A ) на два равных угла: [ \angle BAD = \angle CAD = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ ]

3. Рассмотрим треугольник ( ABD ):

   • (\angle BAD = 36^\circ), ( \angle ABD = 36^\circ) (так как ( AB = BC )).
   • Следовательно, ( \triangle ABD ) равнобедренный, так как два угла равны: [ \angle BAD = \angle ABD = 36^\circ ]
   • Это значит ( AD = BD ).

4. Рассмотрим треугольник ( CDA ):

   • (\angle CAD = 36^\circ), ( \angle ADC = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ) (так как ( AD ) — биссектриса и ( \angle A = 72^\circ )).
   • Следовательно, ( \triangle CDA ) равнобедренный, так как два угла равны: [ \angle CAD = \angle ADC = 36^\circ ]
   • Это значит ( CD = DA ).

Вывод:

Оба треугольника, ( \triangle ABD ) и ( \triangle CDA ), являются равнобедренными, поскольку в каждом из них есть две равные стороны, которые следуют из равных углов, доказанных выше.

Для доказательства равнобедренности треугольников CDA и ABD нам необходимо использовать свойства биссектрисы и равенства сторон треугольника ABC.

Из условия задачи мы знаем, что угол B равен 36 градусов, что значит, что угол A и угол C равны между собой и равны (180 - 36) / 2 = 72 градуса. Также мы знаем, что AB = BC.

Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку AD - биссектриса угла A, то угол DAB = угол CAD = 36 градусов. Также у нас есть AB = BC, следовательно, сторона AB равна стороне BC. Из этого следует, что треугольник ABD равнобедренный.

Аналогично, рассмотрим треугольник CDA. У нас уже есть угол CAD = 36 градусов и угол ACD = 72 градуса (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Также сторона CA равна стороне CD, так как AD - биссектриса угла A. Следовательно, треугольник CDA также равнобедренный.

Таким образом, мы доказали, что треугольники CDA и ABD равнобедренные.