Дано: угол DBC = 90 градусов, угол BDC = 60 градусов, BD = 4 см. а) Между каким целыми числами заключена...

а) Для нахождения длины отрезка ВС воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим угол BCD как α.

По теореме косинусов: BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2BDCD*cos(α)

Подставим известные значения: BC^2 = 4^2 + CD^2 - 24CD*cos(60)

Учитывая, что cos(60) = 0.5, получим: BC^2 = 16 + CD^2 - 4*CD

Также из условия известно, что угол DBC = 90 градусов, следовательно, угол BCD = 30 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Подставим угол BCD = 30 градусов в уравнение: BC^2 = 16 + CD^2 - 4CDcos(30)

Учитывая, что cos(30) = √3 / 2, получим: BC^2 = 16 + CD^2 - 2√3*CD

Таким образом, длина отрезка ВС находится между целыми числами 4 и 8.

б) Для нахождения длины медианы PD воспользуемся формулой для медианы в треугольнике:

PD^2 = (2BC^2 + 2BD^2 - CD^2) / 4

Подставим известные значения: PD^2 = (28^2 + 24^2 - CD^2) / 4 PD^2 = (128 + 32 - CD^2) / 4 PD^2 = (160 - CD^2) / 4

Таким образом, длина медианы PD равна корню из выражения (160 - CD^2) / 4.

Давайте разберем задачу, основываясь на данных и геометрических принципах.

Дано:

• Угол ( \angle DBC = 90^\circ )
• Угол ( \angle BDC = 60^\circ )
• Длина ( BD = 4 ) см

Требуется:

а) Определить, между какими целыми числами заключена длина отрезка ( BC ).

б) Найти длину медианы ( PD ), где ( P ) — середина отрезка ( BC ).

Решение:

а) Длина отрезка ( BC )

Поскольку (\angle DBC = 90^\circ) и (\angle BDC = 60^\circ), треугольник ( \triangle BDC ) является прямоугольным с углом ( \angle BDC = 60^\circ ). В таком треугольнике:

1. (\angle BCD = 30^\circ) (так как сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ )).
2. По теореме синусов в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла, т.е. ( \frac{BD}{BC} = \sin(60^\circ) ).

[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Следовательно, длина гипотенузы ( BC ) может быть найдена как:

[ BC = \frac{BD}{\sin(60^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} ]

Умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ) для избавления от иррациональности в знаменателе:

[ BC = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 ]

Таким образом, длина ( BC ) заключена между целыми числами 4 и 5.

б) Длина медианы ( PD )

Медиана ( PD ) в треугольнике ( \triangle BDC ) из вершины ( D ) к стороне ( BC ) делит её пополам. Длину медианы в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:

[ PD = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} ]

где ( a ) и ( b ) — длины катетов, ( c ) — длина гипотенузы. В нашем случае, ( a = BD = 4 ) см, ( b = DC ), и ( c = BC ).

Из теоремы Пифагора:

[ DC = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 4^2} ]

[ = \sqrt{\left(\frac{64 \cdot 3}{9}\right) - 16} = \sqrt{\left(\frac{192}{9}\right) - \frac{144}{9}} = \sqrt{\frac{48}{9}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} ]

Теперь используем формулу медианы:

[ PD = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 4^2 + 2 \times \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2} ]

[ = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 16 + 2 \times \frac{16}{3} - \frac{192}{9}} ]

[ = \frac{1}{2} \sqrt{32 + \frac{32}{3} - \frac{64}{3}} ]

[ = \frac{1}{2} \sqrt{32 - \frac{32}{3}} ]

[ = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{96}{3} - \frac{32}{3}} ]

[ = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{64}{3}} ]

[ = \frac{1}{2} \times \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} ]

Таким образом, длина медианы ( PD ) равна ( \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 ) см.

Итоги: а) Длина ( BC ) заключена между 4 и 5. б) Длина медианы ( PD \approx 2.31) см.