Дано: В основании прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD, у которого BD перпендикулярно AB, AB=3 см, BD=4 см. Плоскость AB1C1 составляет с плоскостью основания угол 45 градусов. Задание: Найдите площадь полной поверхности параллелепипед
Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. Для нахождения площади полной поверхности параллелепипеда нужно посчитать площади всех его граней и сложить их.
Для решения задачи нам нужно найти площадь полной поверхности параллелепипеда. Параллелепипед основан на параллелограмме ABCD, у которого известны стороны и некоторые углы. Давайте разберем задачу пошагово:
Определение типа параллелограмма:
Поскольку ( BD ) перпендикулярно ( AB ), параллелограмм ABCD является прямоугольником. Углы при вершинах B и D равны 90 градусам.
Определение длины стороны AD:
Так как ABCD — прямоугольник, можно применить теорему Пифагора для треугольника ABD: [ AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \text{ см} ]
Высота параллелепипеда:
Плоскость ( AB_1C_1 ) составляет угол 45 градусов с плоскостью основания. Это означает, что высота ( AA_1 ) параллелепипеда равна длине проекции этой высоты на плоскость основания умноженной на (\tan(45^\circ)). Так как (\tan(45^\circ) = 1), то высота ( AA_1 = AD = \sqrt{7} \text{ см} ).
Площадь боковых граней:
Площадь боковых граней вычисляется следующим образом:
Площадь основания:
Поскольку ABCD — прямоугольник, его площадь равна: [ AB \times AD = 3 \times \sqrt{7} \text{ см}^2 ]
Полная площадь поверхности параллелепипеда:
Полная площадь поверхности параллелепипеда — это сумма площадей всех граней: [ 2 \times \text{Площадь основания} + 2 \times \text{Площадь боковой грани } ABB_1A_1 + 2 \times \text{Площадь боковой грани } BCC_1B_1 ] [ = 2 \times 3 \times \sqrt{7} + 2 \times 3 \times \sqrt{7} + 2 \times 4 \times \sqrt{7} ] [ = 6\sqrt{7} + 6\sqrt{7} + 8\sqrt{7} = 20\sqrt{7} \text{ см}^2 ]
Таким образом, площадь полной поверхности параллелепипеда равна ( 20\sqrt{7} ) квадратных сантиметров.
Для нахождения площади полной поверхности параллелепипеда необходимо найти площадь всех его граней и сложить их.
Площадь боковой поверхности параллелепипеда: Боковая поверхность параллелепипеда состоит из четырех прямоугольников. Для каждого прямоугольника длина равна высоте параллелепипеда, ширина равна стороне основания. Площадь каждого прямоугольника: 3 см 4 см = 12 см^2 Площадь боковой поверхности: 4 12 см^2 = 48 см^2
Площадь верхней и нижней граней параллелепипеда: Площадь верхней и нижней граней равна площади основания параллелепипеда. Площадь основания: 3 см 4 см = 12 см^2 Площадь верхней и нижней граней: 2 12 см^2 = 24 см^2
Площадь двух других граней: Площадь грани ABCD равна площади параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма: 3 см 4 см = 12 см^2 Площадь двух других граней: 2 12 см^2 = 24 см^2
Итак, площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней: 48 см^2 (боковая поверхность) + 24 см^2 (верхняя и нижняя грани) + 24 см^2 (две другие грани) = 96 см^2
Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 96 квадратным сантиметрам.
