Дано:АО-медиана треугольник ABD,BO-медиана треугольник ABC.Докажите,что ABCD-параллелограм.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, нам необходимо показать, что либо противоположные стороны этого четырехугольника параллельны и равны, либо диагонали пересекаются и делятся пополам.

Дано:

1. $AO$ — медиана треугольника $ABD$.
2. $BO$ — медиана треугольника $ABC$.

Доказательство:

1. Свойства медиан:

   • Поскольку $AO$ — медиана треугольника $ABD$, точка $O$ делит сторону $BD$ пополам. То есть, $BO=OD$.
   • Поскольку $BO$ — медиана треугольника $ABC$, точка $O$ делит сторону $AC$ пополам. То есть, $AO=OC$.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$:

   • $O$ — общая точка медиан $AO$ и $BO$. Это середина $BD$ и $AC$.
   • Следовательно, вектор $AO$ равен вектору $OC$, а вектор $BO$ равен вектору $OD$.

3. Параллельность и равенство сторон:

   • Из равенства векторов, $AO=OC$ и $BO=OD$, следует, что векторы $AC$ и $BD$ равны и параллельны, так как они лежат на одной прямой и имеют одинаковую длину.
   • Таким образом, противоположные стороны $ABCD$ $(AC$ и $BD$) равны и параллельны.

4. Вывод:

   • По определению параллелограмма, если в четырехугольнике две пары противоположных сторон равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Для начала, давайте вспомним определение медианы. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поскольку AO - медиана треугольника ABD, то точка O является серединой стороны BD. Аналогично, поскольку BO - медиана треугольника ABC, то точка O является серединой стороны AC.

Таким образом, точка O является серединой и стороны BD, и стороны AC. Из этого следует, что линии AO и BO пересекаются в точке O и делят друг друга пополам.

Теперь рассмотрим треугольники AOB и DOC. Так как точка O является серединой стороны BD, линия AO делит сторону BD на две равные части, аналогично, линия BO делит сторону AC на две равные части. Это означает, что стороны AO и BO параллельны сторонам DC и OC, соответственно.

Таким образом, по определению параллелограмма, стороны AD и BC параллельны и равны, а также стороны AB и CD параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник ABCD - параллелограмм.