Дано:АО-медиана треугольник ABD,BO-медиана треугольник ABC.Докажите,что ABCD-параллелограм.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник (ABCD) является параллелограммом, нам необходимо показать, что либо противоположные стороны этого четырехугольника параллельны и равны, либо диагонали пересекаются и делятся пополам.

Дано:

1. (AO) — медиана треугольника (ABD).
2. (BO) — медиана треугольника (ABC).

Доказательство:

1. Свойства медиан:

   • Поскольку (AO) — медиана треугольника (ABD), точка (O) делит сторону (BD) пополам. То есть, (BO = OD).
   • Поскольку (BO) — медиана треугольника (ABC), точка (O) делит сторону (AC) пополам. То есть, (AO = OC).

2. Рассмотрим треугольник (AOB):

   • (O) — общая точка медиан (AO) и (BO). Это середина (BD) и (AC).
   • Следовательно, вектор (AO) равен вектору (OC), а вектор (BO) равен вектору (OD).

3. Параллельность и равенство сторон:

   • Из равенства векторов, (AO = OC) и (BO = OD), следует, что векторы (AC) и (BD) равны и параллельны, так как они лежат на одной прямой и имеют одинаковую длину.
   • Таким образом, противоположные стороны (ABCD) ((AC) и (BD)) равны и параллельны.

4. Вывод:

   • По определению параллелограмма, если в четырехугольнике две пары противоположных сторон равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник (ABCD) является параллелограммом.

Для начала, давайте вспомним определение медианы. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поскольку AO - медиана треугольника ABD, то точка O является серединой стороны BD. Аналогично, поскольку BO - медиана треугольника ABC, то точка O является серединой стороны AC.

Таким образом, точка O является серединой и стороны BD, и стороны AC. Из этого следует, что линии AO и BO пересекаются в точке O и делят друг друга пополам.

Теперь рассмотрим треугольники AOB и DOC. Так как точка O является серединой стороны BD, линия AO делит сторону BD на две равные части, аналогично, линия BO делит сторону AC на две равные части. Это означает, что стороны AO и BO параллельны сторонам DC и OC, соответственно.

Таким образом, по определению параллелограмма, стороны AD и BC параллельны и равны, а также стороны AB и CD параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник ABCD - параллелограмм.