Даны координаты трёх точек A=(3;5;1), B=(3;3;1) и C=(5;9;7). Вычисли медианы AD,BE,CF треугольника ABC.

Медианы треугольника ABC: AD: (3+5)/2 = 4; (5+9)/2 = 7; (1+7)/2 = 4 BE: (3+5)/2 = 4; (3+9)/2 = 6; (1+7)/2 = 4 CF: (3+5)/2 = 4; (3+9)/2 = 6; (1+7)/2 = 4

Чтобы найти медианы треугольника (ABC), сначала необходимо определить координаты середины каждой стороны треугольника. Это позволит нам вычислить уравнение каждой медианы.

1. Находим середины сторон:

   • Середина стороны (BC): [ D = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{3 + 5}{2}, \frac{3 + 9}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = (4, 6, 4) ]

   • Середина стороны (AC): [ E = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{3 + 5}{2}, \frac{5 + 9}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = (4, 7, 4) ]

   • Середина стороны (AB): [ F = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) = \left( \frac{3 + 3}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (3, 4, 1) ]

2. Вычисляем уравнения медиан:

   • Медиана (AD): проходит через точку (A(3, 5, 1)) и середину (D(4, 6, 4)). Направляющие векторы: (\overrightarrow{AD} = (4 - 3, 6 - 5, 4 - 1) = (1, 1, 3)).

     Уравнение медианы (AD) в параметрической форме: [ \begin{cases} x = 3 + t \ y = 5 + t \ z = 1 + 3t \end{cases} ]

   • Медиана (BE): проходит через точку (B(3, 3, 1)) и середину (E(4, 7, 4)). Направляющие векторы: (\overrightarrow{BE} = (4 - 3, 7 - 3, 4 - 1) = (1, 4, 3)).

     Уравнение медианы (BE) в параметрической форме: [ \begin{cases} x = 3 + t \ y = 3 + 4t \ z = 1 + 3t \end{cases} ]

   • Медиана (CF): проходит через точку (C(5, 9, 7)) и середину (F(3, 4, 1)). Направляющие векторы: (\overrightarrow{CF} = (3 - 5, 4 - 9, 1 - 7) = (-2, -5, -6)).

     Уравнение медианы (CF) в параметрической форме: [ \begin{cases} x = 5 - 2t \ y = 9 - 5t \ z = 7 - 6t \end{cases} ]

Таким образом, мы нашли уравнения для медиан (AD), (BE) и (CF) треугольника (ABC).

Для вычисления медиан треугольника ABC, нужно найти середины сторон треугольника. Середины сторон можно найти, используя формулу:

Mx = (Ax + Bx) / 2 My = (Ay + By) / 2 Mz = (Az + Bz) / 2

Где Mx, My, Mz - координаты середины стороны, Ax, Ay, Az и Bx, By, Bz - координаты концов стороны.

Таким образом, найдем середины сторон треугольника ABC:

MA = ((3 + 3) / 2; (5 + 3) / 2; (1 + 1) / 2) = (3; 4; 1) MB = ((3 + 5) / 2; (3 + 9) / 2; (1 + 7) / 2) = (4; 6; 4) MC = ((5 + 3) / 2; (9 + 3) / 2; (7 + 1) / 2) = (4; 6; 4)

Теперь, чтобы найти медианы треугольника, проведем прямые из вершины треугольника через середины противоположных сторон. Таким образом, медианы будут:

Медиана AD проходит через точку M на стороне BC: AD = (3; 4; 1) + k((3 - 3); (5 - 4); (1 - 1)) = (3; 4; 1) + k(0; 1; 0)

Медиана BE проходит через точку M на стороне AC: BE = (4; 6; 4) + k((5 - 4); (9 - 6); (7 - 4)) = (4; 6; 4) + k(1; 3; 3)

Медиана CF проходит через точку M на стороне AB: CF = (4; 6; 4) + k((3 - 4); (3 - 6); (1 - 4)) = (4; 6; 4) + k(-1; -3; -3)

Таким образом, мы нашли уравнения медиан треугольника ABC через соответствующие середины сторон.