Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B(2;10;-5), C(2;3;2). Найти периметр этого треугольника...

Для нахождения периметра треугольника и косинусов его углов, нам нужно сначала вычислить длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Если координаты точек заданы как ( A(x_1, y_1, z_1) ) и ( B(x_2, y_2, z_2) ), то расстояние между ними вычисляется по формуле:

[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

1. Вычисляем длины сторон:

• Сторона ( AB ): [ AB = \sqrt{(2 - 9)^2 + (10 - 3)^2 + (-5 - (-5))^2} = \sqrt{(-7)^2 + 7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} ]

• Сторона ( BC ): [ BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - 10)^2 + (2 - (-5))^2} = \sqrt{0^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} ]

• Сторона ( CA ): [ CA = \sqrt{(9 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{7^2 + 0^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} ]

2. Находим периметр треугольника:

Поскольку ( AB = BC = CA = 7\sqrt{2} ), треугольник является равносторонним. Периметр ( P ) равен сумме длин всех сторон:

[ P = AB + BC + CA = 7\sqrt{2} + 7\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = 21\sqrt{2} ]

3. Находим косинусы углов:

В равностороннем треугольнике все углы равны ( 60^\circ ). Косинус угла ( 60^\circ ) равен ( \frac{1}{2} ). Поэтому косинусы всех углов треугольника ( \cos \angle A = \cos \angle B = \cos \angle C = \frac{1}{2} ).

Таким образом, периметр треугольника равен ( 21\sqrt{2} ), а косинусы всех углов равны ( \frac{1}{2} ).

Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC = 17.46 Косинусы углов: cosA = 0.7071 cosB = 0.8944 cosC = 0.7071

Для начала найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2)
AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2)

AB = √((2 - 9)^2 + (10 - 3)^2 + (-5 - (-5))^2) = √(49 + 49 + 0) = √98
BC = √((2 - 2)^2 + (3 - 10)^2 + (2 - (-5))^2) = √(0 + 49 + 49) = √98
AC = √((2 - 9)^2 + (3 - 3)^2 + (2 - (-5))^2) = √(49 + 0 + 49) = √98

Теперь найдем периметр треугольника ABC:

Периметр = AB + BC + AC = √98 + √98 + √98 = 3√98

Далее найдем косинусы углов треугольника ABC, используя формулу косинуса угла между векторами:

cos(угол) = (a b) / (|a| |b|)

a и b - векторы, образованные сторонами треугольника, |a| и |b| - их длины.

cos(угол A) = ((AB AC) / (|AB| |AC|))
cos(угол B) = ((AB BC) / (|AB| |BC|))
cos(угол C) = ((AC BC) / (|AC| |BC|))

Подставим значения и найдем косинусы углов треугольника ABC:

cos(угол A) = ((√98 √98) / (√98 √98)) = 1
cos(угол B) = ((√98 √98) / (√98 √98)) = 1
cos(угол C) = ((√98 √98) / (√98 √98)) = 1

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 3√98, а косинусы его углов A, B и C равны 1.