Даны прямая а и три точки B, C, H, такие, что B не лежит на а, C не лежит на а, H лежит на а, BC перпендикулярен...

Доказательство:

1) Проведем перпендикуляр из точки B к прямой а и обозначим точку пересечения с прямой а как D. Так как BC перпендикулярен а, то точка D будет серединой отрезка BC.

2) Рассмотрим треугольник BHC. Так как B не лежит на а, а прямая BC перпендикулярна а, то угол BHC не является прямым углом.

Таким образом, угол BHC не равен 90 градусов.

Для доказательства того, что угол ( \angle BHC ) не равен ( 90^\circ ), нужно обратить внимание на геометрические свойства и расположение точек относительно прямой ( a ).

1) По условию, точки ( B ) и ( C ) не лежат на прямой ( a ), а точка ( H ) лежит на ней. Также известно, что ( BC ) перпендикулярен ( a ). Это означает, что отрезок ( BC ) пересекает прямую ( a ) под прямым углом. Таким образом, ( BC ) является перпендикуляром, проведенным из точки ( B ) к прямой ( a ).

2) Из геометрии следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр. Следовательно, точка пересечения перпендикуляра ( BC ) с прямой ( a ) будет единственной, и эта точка будет точкой ( H ).

Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle BHC ):

• Из условия ( BC \perp a ), следовательно, угол ( \angle BHC ) будет острым или тупым, но не прямым. Это связано с тем, что если бы ( \angle BHC ) был равен ( 90^\circ ), то это означало бы, что ( BC ) является горизонтальной или вертикальной линией без наклона относительно линии ( B \rightarrow H \rightarrow C ), что противоречит условию, где ( H ) — это единственная точка на прямой ( a ).

Таким образом, ( \angle BHC \neq 90^\circ ), так как перпендикуляр из точки ( B ) к прямой ( a ) уже проходит через точку ( H ), и ( BC ) не может образовывать прямой угол в точке ( H ) с продолжением себя же, поскольку это возможно только при совпадении всех точек на линии, что не соответствует первоначальному расположению точек.

Итак, мы доказали, что угол ( \angle BHC ) не равен ( 90^\circ ).

1) По условию B не лежит на а, BC перпендикулярен а, следовательно, отрезок BC - высота треугольника ВСН, проведенная из точки С.

2) Из точки B, не лежащей на прямой а, можно провести только одну высоту треугольника ВСН, следовательно, угол BHC не равен 90 градусов.

Доказано.