Даны точки А (3;-2;1), В (-2;1;3), С (1;3;-2) найдите угол САВ
Даны точки А (3;-2;1), В (-2;1;3), С (1;3;-2) найдите угол САВ
Для нахождения угла САВ, необходимо найти косинус угла между векторами СА и ВА, а затем вычислить значение самого угла.
Найдем векторы СА и ВА: СА = (1 - 3)i + (3 + 2)j + (-2 - 1)k = -2i + 5j - 3k ВА = (-2 - 3)i + (1 + 2)j + (3 - 1)k = -5i + 3j + 2k
Найдем скалярное произведение векторов СА и ВА: СА ВА = (-2 -5) + (5 3) + (-3 2) = 10 + 15 - 6 = 19
Найдем длины векторов СА и ВА: |СА| = sqrt((-2)^2 + 5^2 + (-3)^2) = sqrt(4 + 25 + 9) = sqrt(38) |ВА| = sqrt((-5)^2 + 3^2 + 2^2) = sqrt(25 + 9 + 4) = sqrt(38)
Найдем косинус угла между векторами СА и ВА по формуле: cos(угол) = (СА ВА) / (|СА| |ВА|) = 19 / (sqrt(38) * sqrt(38)) = 19 / 38 = 0.5
Наконец, найдем значение угла САВ: угол = arccos(0.5) ≈ 60 градусов
Итак, угол САВ составляет примерно 60 градусов.
Чтобы найти угол ( \angle CAB ), нам нужно использовать векторный подход и скалярное произведение векторов.
Сначала найдем векторы (\overrightarrow{CA}) и (\overrightarrow{CB}):
Вектор (\overrightarrow{CA}) определяется координатами: [ \overrightarrow{CA} = A - C = (3 - 1, -2 - 3, 1 - (-2)) = (2, -5, 3) ]
Вектор (\overrightarrow{CB}) определяется координатами: [ \overrightarrow{CB} = B - C = (-2 - 1, 1 - 3, 3 - (-2)) = (-3, -2, 5) ]
Теперь используем скалярное произведение векторов (\overrightarrow{CA}) и (\overrightarrow{CB}), чтобы найти косинус угла между ними. Скалярное произведение рассчитывается как: [ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (2)(-3) + (-5)(-2) + (3)(5) ] [ = -6 + 10 + 15 = 19 ]
Теперь найдем длины векторов (\overrightarrow{CA}) и (\overrightarrow{CB}):
[ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38} ]
[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38} ]
Теперь используем формулу для косинуса угла между двумя векторами: [ \cos \angle CAB = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} ] [ = \frac{19}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{38}} = \frac{19}{38} ]
Следовательно, угол (\angle CAB) можно найти как: [ \angle CAB = \cos^{-1}\left(\frac{19}{38}\right) ]
Таким образом, угол (\angle CAB) равен (\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)), что соответствует углу в (60^\circ) или (\frac{\pi}{3}) радиан.
