Даны точки А(1,2,3) В(3,2,-1) С(5,8,-1) Д(-6,4,0) Найти периметр четырёхугольника АВСД и угол мужду...

Чтобы найти периметр четырехугольника АВСД, нужно вычислить длины сторон этого четырехугольника. Для этого нужно найти расстояния между точками А, В, С и Д.

Длина отрезка между точками А и В (AB): AB = √((3-1)^2 + (2-2)^2 + (-1-3)^2) = √2^2 + 0^2 + (-4)^2 = √4 + 0 + 16 = √20

Длина отрезка между точками В и С (BC): BC = √((5-3)^2 + (8-2)^2 + (-1+1)^2) = √2^2 + 6^2 + 0^2 = √4 + 36 + 0 = √40

Длина отрезка между точками С и Д (CD): CD = √((-6-5)^2 + (4-8)^2 + (0+1)^2) = √(-11)^2 + (-4)^2 + 1^2 = √121 + 16 + 1 = √138

Длина отрезка между точками Д и А (DA): DA = √((-6-1)^2 + (4-2)^2 + (0-3)^2) = √(-7)^2 + 2^2 + (-3)^2 = √49 + 4 + 9 = √62

Теперь найдем периметр четырехугольника АВСД: Периметр = AB + BC + CD + DA = √20 + √40 + √138 + √62

Чтобы найти угол между векторами АВ и СД, нужно найти косинус угла между этими векторами. Для этого воспользуемся формулой косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (AB CD + BC DA) / (|AB| |CD| + |BC| |DA|)

где AB * CD - скалярное произведение векторов АВ и СД, |AB| и |CD| - длины этих векторов.

После того, как найдем косинус угла между векторами, можем вычислить угол между ними по формуле:

θ = arccos(cos(θ))

Чтобы найти периметр четырёхугольника ABCD и угол между векторами AB и CD, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем длины сторон четырехугольника

Длина AB:

Вектор AB можно найти как разность координат точек B и A: [ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 2 - 2, -1 - 3) = (2, 0, -4) ]

Длина вектора AB (и, соответственно, длина отрезка AB): [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

Длина BC:

Вектор BC: [ \overrightarrow{BC} = (5 - 3, 8 - 2, -1 - (-1)) = (2, 6, 0) ]

Длина BC: [ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]

Длина CD:

Вектор CD: [ \overrightarrow{CD} = (-6 - 5, 4 - 8, 0 - (-1)) = (-11, -4, 1) ]

Длина CD: [ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-11)^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{121 + 16 + 1} = \sqrt{138} ]

Длина DA:

Вектор DA: [ \overrightarrow{DA} = (1 - (-6), 2 - 4, 3 - 0) = (7, -2, 3) ]

Длина DA: [ |\overrightarrow{DA}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 4 + 9} = \sqrt{62} ]

Шаг 2: Найдем периметр четырехугольника ABCD

Периметр ( P ) равен сумме длин всех сторон: [ P = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{CD}| + |\overrightarrow{DA}| = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + \sqrt{138} + \sqrt{62} ]

Шаг 3: Найдем угол между векторами AB и CD

Сначала найдем скалярное произведение векторов AB и CD: [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2) \times (-11) + (0) \times (-4) + (-4) \times 1 = -22 + 0 - 4 = -26 ]

Длину векторов мы уже нашли: [ |\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{5}, \quad |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{138} ]

Косинус угла ( \theta ) между векторами можно найти по формуле: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-26}{2\sqrt{5} \times \sqrt{138}} ]

Таким образом, угол ( \theta ) можно найти, взяв арккосинус полученного значения: [ \theta = \arccos\left(\frac{-26}{2\sqrt{5} \times \sqrt{138}}\right) ]

Это даст вам значение угла в радианах. Вы можете перевести его в градусы, если это необходимо, умножив на (\frac{180}{\pi}).

Таким образом, мы вычислили периметр четырехугольника и угол между векторами.

Периметр четырехугольника АВСД равен сумме длин сторон: AB + BC + CD + DA. Угол между векторами AB и CD можно найти с помощью скалярного произведения векторов: cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|), где θ - угол между векторами.