Даны векторы а(-2;8;-4) b(1;-4;k). При каком значении k векторы a и b : 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
Даны векторы а(-2;8;-4) b(1;-4;k). При каком значении k векторы a и b : 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
Чтобы определить значения параметра ( k ), при которых векторы ( \mathbf{a} = (-2, 8, -4) ) и ( \mathbf{b} = (1, -4, k) ) будут коллинеарны или перпендикулярны, воспользуемся соответствующими математическими условиями.
Векторы коллинеарны, если один из них является линейным множителем другого, то есть существует такое число ( \lambda ), что:
[ \mathbf{b} = \lambda \mathbf{a} ]
Это приводит к следующим уравнениям:
[ 1 = -2\lambda ]
[ -4 = 8\lambda ]
[ k = -4\lambda ]
Решим первые два уравнения:
Из первого уравнения: (\lambda = -\frac{1}{2}).
Из второго уравнения: (\lambda = -\frac{1}{2}).
Обе эти ( \lambda ) равны, значит, возможно найти такое ( \lambda ), при котором первые две координаты векторов равны. Теперь подставим найденное значение (\lambda) в третье уравнение:
[ k = -4 \times -\frac{1}{2} = 2 ]
Таким образом, векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) коллинеарны при ( k = 2 ).
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 ]
Скалярное произведение двух векторов (\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)) и (\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)) вычисляется по формуле:
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 ]
Подставим значения координат:
[ -2 \cdot 1 + 8 \cdot (-4) + (-4) \cdot k = 0 ]
Упростим это уравнение:
[ -2 - 32 - 4k = 0 ]
[ -34 - 4k = 0 ]
[ 4k = -34 ]
[ k = -\frac{34}{4} = -\frac{17}{2} ]
Таким образом, векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) перпендикулярны при ( k = -\frac{17}{2} ).
1) Для того чтобы векторы a и b были коллинеарными, необходимо, чтобы они были параллельны и имели одинаковое направление. Векторы коллинеарны, если они кратны друг другу. То есть, вектор b должен быть равен вектору a, умноженному на некоторое число k: b = k * a.
Исходя из данного условия, мы можем записать уравнение: (1;-4;k) = k * (-2;8;-4).
Следовательно, для коллинеарности векторов a и b должно выполняться условие: 1 = -2k, -4 = 8k, k = -0.5.
Таким образом, векторы a и b коллинеарны при k = -0.5.
2) Для того чтобы векторы a и b были перпендикулярными, их скалярное произведение должно равняться нулю. Скалярное произведение векторов a и b равно сумме произведений соответствующих координат векторов: a b = (-2)(1) + 8(-4) + (-4)k = 0.
Решив данное уравнение относительно k, мы получим: -2 - 32 - 4k = 0, -34 - 4k = 0, -4k = 34, k = -8.5.
Таким образом, векторы a и b перпендикулярны при k = -8.5.
