Даны векторы м(1;-4;-3)и н(5;р;-15). При каком значении р векторы м и н: а) коллинеарны, б)Перпендикуляпрны?...

а) Для коллинеарности векторов необходимо, чтобы они были параллельны, т.е. один равен другому с точностью до умножения на число. Для этого найдем отношение координат векторов:

m: n = 1/5 = -4/р = -3/-15 Отсюда получаем, что r = -20

б) Для перпендикулярности векторов необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов m и n:

m n = 15 + (-4)р + (-3)(-15) = 5 - 4р + 45 = 50 - 4р

Приравняем это выражение к нулю и найдем значение р:

50 - 4р = 0 -4р = -50 р = 12.5

Итак, при значении р = -20 векторы м и н коллинеарны, а при значении р = 12.5 они перпендикулярны.

а) Для того чтобы векторы были коллинеарными, необходимо чтобы они были параллельными и имели одно направление. Для этого нужно чтобы они были пропорциональными друг другу.

m(1;-4;-3) = k * n(5;р;-15)

Подставляем значения векторов:

1 = 5k -4 = рk -3 = -15k

Отсюда получаем:

k = 1/5

Таким образом, векторы m и n коллинеарны при значении р = -20.

б) Для того чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение должно равняться нулю.

m n = 15 + (-4)р + (-3)(-15) = 0

5 - 4р + 45 = 0 4р = 50 р = 12.5

Таким образом, векторы m и n перпендикулярны при значении р = 12.5.

Чтобы определить, при каком значении ( p ) векторы (\mathbf{m} = (1, -4, -3)) и (\mathbf{n} = (5, p, -15)) являются коллинеарными или перпендикулярными, мы рассмотрим условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

а) Коллинеарность векторов

Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным множителем другого. Это означает, что должны существовать такие числа (\lambda), что выполняются равенства:

[ \mathbf{n} = \lambda \mathbf{m} ]

Для векторов (\mathbf{m} = (1, -4, -3)) и (\mathbf{n} = (5, p, -15)) это означает, что:

1. (5 = \lambda \cdot 1)
2. (p = \lambda \cdot (-4))
3. (-15 = \lambda \cdot (-3))

Из первого уравнения получаем (\lambda = 5).

Подставим (\lambda = 5) во второе уравнение:

[ p = 5 \cdot (-4) = -20 ]

Проверим третье уравнение:

[ -15 = 5 \cdot (-3) = -15 ]

Уравнение выполняется, следовательно, при (p = -20) векторы (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}) коллинеарны.

б) Перпендикулярность векторов

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}) определяется как:

[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 5 + (-4) \cdot p + (-3) \cdot (-15) ]

Вычислим скалярное произведение:

[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 5 - 4p + 45 ]

Объединим подобные:

[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 50 - 4p ]

Для перпендикулярности необходимо, чтобы (\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 0):

[ 50 - 4p = 0 ]

Решим уравнение относительно (p):

[ 4p = 50 \ p = \frac{50}{4} = 12.5 ]

Таким образом, векторы (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}) перпендикулярны при (p = 12.5).

Ответ

а) Векторы коллинеарны при (p = -20).

б) Векторы перпендикулярны при (p = 12.5).