Даны вершины треугольника А (1:-2) В(5:4) и С (-2:0). Составить уравнение биссектрисы его внутреннего...

Для составления уравнения биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине А необходимо найти координаты точки пересечения биссектрисы с отрезком, соединяющим вершину А с серединой противоположной стороны треугольника.

1. Найдем координаты середины стороны ВС: x = (5 - 2)/2 = 1.5 y = (4 + 0)/2 = 2

Середина стороны ВС имеет координаты (1.5; 2).

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины А и середину стороны ВС: Уравнение прямой, проходящей через точки (1; -2) и (1.5; 2): y = kx + b

k = (2 - (-2)) / (1.5 - 1) = 4 / 0.5 = 8 b = -2 - 8*1 = -10

Уравнение прямой: y = 8x - 10

1. Найдем уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине А. Биссектриса делит угол на два равные угла. Найдем координаты точки пересечения биссектрисы с отрезком, соединяющим вершину А с серединой стороны ВС.

Угловой коэффициент биссектрисы равен среднему арифметическому угловых коэффициентов сторон, образующих угол: k1 = (4 - (-2)) / (5 - 1) = 6 / 4 = 1.5 k2 = (0 - (-2)) / (-2 - 1) = 2 / -3 = -0.67

k_bisector = (1.5 - 0.67) / (1 + 0.67) = 0.83

Точка пересечения биссектрисы с отрезком имеет координаты (x; y): y = 0.83x - 2.83 (уравнение биссектрисы)

Таким образом, уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине А: y = 0.83x - 2.83.

Чтобы составить уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине A треугольника ABC с заданными координатами вершин, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Определение векторов сторон треугольника:

   • Вектор ( \overrightarrow{AB} = (5 - 1, 4 - (-2)) = (4, 6) )
   • Вектор ( \overrightarrow{AC} = (-2 - 1, 0 - (-2)) = (-3, 2) )

2. Нахождение длин векторов (длин сторон):

   • Длина ( \overrightarrow{AB} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} )
   • Длина ( \overrightarrow{AC} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} )

3. Определение направляющего вектора биссектрисы:

   Биссектриса внутреннего угла делит угол пополам, и ее направляющий вектор можно найти с помощью формулы для вектора биссектрисы: [ \overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} ]

   Подставим значения: [ \overrightarrow{AD} = \frac{(4, 6)}{2\sqrt{13}} + \frac{(-3, 2)}{\sqrt{13}} ]

   Найдем компоненты: [ \frac{(4, 6)}{2\sqrt{13}} = \left(\frac{4}{2\sqrt{13}}, \frac{6}{2\sqrt{13}}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right) ]

   [ \frac{(-3, 2)}{\sqrt{13}} = \left(-\frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}}\right) ]

   Сложим векторы: [ \overrightarrow{AD} = \left(\frac{2}{\sqrt{13}} + \left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right), \frac{3}{\sqrt{13}} + \frac{2}{\sqrt{13}}\right) = \left(\frac{-1}{\sqrt{13}}, \frac{5}{\sqrt{13}}\right) ]

4. Уравнение прямой:

   Биссектриса проходит через точку A(1, -2) и имеет направляющий вектор ( \left(\frac{-1}{\sqrt{13}}, \frac{5}{\sqrt{13}}\right) ).

   Уравнение прямой в параметрической форме: [ x = 1 + t \cdot \frac{-1}{\sqrt{13}} ] [ y = -2 + t \cdot \frac{5}{\sqrt{13}} ]

   Для получения канонического уравнения прямой, выразим ( t ): [ t = (x - 1) \cdot -\sqrt{13} ] [ t = (y + 2) \cdot \frac{\sqrt{13}}{5} ]

   Приравняем правые части: [ (x - 1) \cdot -\sqrt{13} = (y + 2) \cdot \frac{\sqrt{13}}{5} ]

   Упростим: [ 5(x - 1) = -(y + 2) ]

   Это уравнение прямой можно записать в общем виде: [ 5x + y - 7 = 0 ]

Таким образом, уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине A треугольника ABC: ( 5x + y - 7 = 0 ).

Чтобы составить уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине А, нужно найти координаты точки пересечения биссектрисы с отрезком, соединяющим вершину А с серединой противоположной стороны. После этого можно составить уравнение прямой, проходящей через вершину треугольника А и найденную точку.