Даны вершины треугольника M(-1;-2) K( 2;2) P (8;-4) найти косинус K
Даны вершины треугольника M(-1;-2) K( 2;2) P (8;-4) найти косинус K
Чтобы найти косинус угла K в треугольнике, нужно воспользоваться формулой косинусов:
cos(K) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
где a, b, c - стороны треугольника, соединяющие вершины K и M, K и P, M и P.
Подставляем координаты вершин в формулу, находим длины сторон, затем подставляем их в формулу для косинуса угла K.
Чтобы найти косинус угла ( K ) в треугольнике ( MKP ), мы можем воспользоваться векторным подходом и формулой косинуса через скалярное произведение векторов.
Сначала найдем векторы ( \overrightarrow{MK} ) и ( \overrightarrow{KP} ):
Вектор ( \overrightarrow{MK} ): [ \overrightarrow{MK} = (K_x - M_x, K_y - M_y) = (2 - (-1), 2 - (-2)) = (3, 4) ]
Вектор ( \overrightarrow{KP} ): [ \overrightarrow{KP} = (P_x - K_x, P_y - K_y) = (8 - 2, -4 - 2) = (6, -6) ]
Теперь найдем скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{MK} ) и ( \overrightarrow{KP} ): [ \overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{KP} = 3 \times 6 + 4 \times (-6) = 18 - 24 = -6 ]
Далее найдем длины векторов ( \overrightarrow{MK} ) и ( \overrightarrow{KP} ):
Длина вектора ( \overrightarrow{MK} ): [ |\overrightarrow{MK}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]
Длина вектора ( \overrightarrow{KP} ): [ |\overrightarrow{KP}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]
Теперь используем формулу для косинуса угла между двумя векторами: [ \cos K = \frac{\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{KP}}{|\overrightarrow{MK}| \times |\overrightarrow{KP}|} ]
Подставим найденные значения: [ \cos K = \frac{-6}{5 \times 6\sqrt{2}} = \frac{-6}{30\sqrt{2}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}} ]
Для удобства представления можно домножить числитель и знаменатель на (\sqrt{2}): [ \cos K = \frac{-\sqrt{2}}{10} ]
Таким образом, косинус угла ( K ) равен (\frac{-\sqrt{2}}{10}).
Для того чтобы найти косинус угла в треугольнике, нужно использовать формулу косинусов. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника, а A, B и C - углы, противолежащие этим сторонам. Тогда косинус угла К можно найти по формуле:
cos(K) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 b c)
Где a, b и c - длины сторон треугольника. После вычисления длин сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками на плоскости:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Найдем длины сторон треугольника: AB = √((-1 - 2)^2 + (-2 - 2)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 BC = √((2 - 8)^2 + (2 + 4)^2) = √(-6^2 + 6^2) = √(36 + 36) = √72 AC = √((-1 - 8)^2 + (-2 + 4)^2) = √(9^2 + 2^2) = √(81 + 4) = √85
Теперь можно подставить найденные длины сторон в формулу косинуса угла К:
cos(K) = ((√72)^2 + (√85)^2 - 5^2) / (2 √72 √85) cos(K) = (72 + 85 - 25) / (2 √72 √85) cos(K) = 132 / (2 √72 √85) cos(K) = 66 / (√72 √85) cos(K) = 66 / (√(72 85)) cos(K) = 66 / √(6120) cos(K) ≈ 66 / 78.19 cos(K) ≈ 0.8426
Таким образом, косинус угла K в данном треугольнике равен приблизительно 0.8426.
