Диагональ осевого сечения цилиндра равна 32см. Угол между этой диагонали и плоскостью основания 30....

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться знанием о свойствах цилиндра и теореме косинусов.

Пусть высота цилиндра равна h, а радиус основания равен r.

Известно, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 32 см, а угол между этой диагональю и плоскостью основания равен 30 градусов.

Так как диагональ осевого сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами r и h, то можем записать уравнение по теореме Пифагора: r^2 + h^2 = 32^2.

Также, угол между диагональю и плоскостью основания равен 30 градусов, следовательно, можем записать уравнение по косинусам: cos(30) = r/32, r = 32 * cos(30).

Теперь можем подставить значение r в уравнение по теореме Пифагора и решить его относительно h: (32 cos(30))^2 + h^2 = 32^2, h^2 = 32^2 - (32 cos(30))^2, h = sqrt(32^2 - (32 * cos(30))^2).

После нахождения значения h, площадь основания цилиндра можно найти по формуле S = π * r^2.

Таким образом, вычислив значение высоты h и радиуса основания r, можно найти площадь основания цилиндра.

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с тем, что нам дано и что требуется найти.

Дано:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра (прямоугольного треугольника, состоящего из высоты и двух радиусов) равна 32 см.
2. Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра равен 30 градусов.

Требуется:

• Найти длину высоты цилиндра.
• Найти площадь основания цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна из диагоналей которого дана и равна 32 см. Если мы разрежем цилиндр вдоль оси, то получим прямоугольник, у которого одна из сторон равна высоте цилиндра ( h ), а другая — диаметру основания ( 2r ).

Диагональ осевого сечения ( d ) в таком прямоугольнике выражается через высоту ( h ) и диаметр (в два раза больше радиуса ( r )) с помощью теоремы Пифагора:

[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} ]

Подставим известное значение диагонали:

[ 32 = \sqrt{h^2 + (2r)^2} ]

Угол между диагональю и плоскостью основания равен 30 градусов. Это означает, что если мы спроецируем диагональ на плоскость основания, то получим проекцию, равную диаметру основания ( 2r ), и можем записать:

[ \cos(30^\circ) = \frac{2r}{32} ]

Поскольку (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), то:

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2r}{32} ]

Умножим обе стороны на 32, чтобы найти ( 2r ):

[ 2r = 32 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} ]

Теперь вернемся к уравнению, связанному с теоремой Пифагора:

[ 32 = \sqrt{h^2 + (16\sqrt{3})^2} ]

Возведем обе стороны в квадрат:

[ 1024 = h^2 + (16\sqrt{3})^2 ]

Рассчитаем квадрат ( (16\sqrt{3})^2 ):

[ (16\sqrt{3})^2 = 256 \times 3 = 768 ]

Теперь уравнение имеет вид:

[ 1024 = h^2 + 768 ]

Вычтем 768 из обеих сторон:

[ h^2 = 1024 - 768 = 256 ]

Найдем ( h ):

[ h = \sqrt{256} = 16 \text{ см} ]

Теперь найдем площадь основания цилиндра. Площадь основания ( S ) — это площадь круга с радиусом ( r ):

[ r = \frac{2r}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} ]

Площадь круга:

[ S = \pi r^2 = \pi (8\sqrt{3})^2 = \pi \times 192 = 192\pi \text{ кв. см} ]

Таким образом, длина высоты цилиндра равна 16 см, а площадь основания — ( 192\pi ) квадратных сантиметров.

Длина высоты цилиндра равна 16 см, площадь основания цилиндра равна 256π см².