Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с тем, что нам дано и что требуется найти.
Дано:
- Диагональ осевого сечения цилиндра равна 32 см.
- Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра равен 30 градусов.
Требуется:
- Найти длину высоты цилиндра.
- Найти площадь основания цилиндра.
Решение:
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна из диагоналей которого дана и равна 32 см. Если мы разрежем цилиндр вдоль оси, то получим прямоугольник, у которого одна из сторон равна высоте цилиндра , а другая — диаметру основания .
Диагональ осевого сечения в таком прямоугольнике выражается через высоту и диаметр ) с помощью теоремы Пифагора:
Подставим известное значение диагонали:
Угол между диагональю и плоскостью основания равен 30 градусов. Это означает, что если мы спроецируем диагональ на плоскость основания, то получим проекцию, равную диаметру основания , и можем записать:
Поскольку = \frac{\sqrt{3}}{2}), то:
Умножим обе стороны на 32, чтобы найти :
Теперь вернемся к уравнению, связанному с теоремой Пифагора:
Возведем обе стороны в квадрат:
Рассчитаем квадрат ^2 ):
Теперь уравнение имеет вид:
Вычтем 768 из обеих сторон:
Найдем :
Теперь найдем площадь основания цилиндра. Площадь основания — это площадь круга с радиусом :
Площадь круга:
Таким образом, длина высоты цилиндра равна 16 см, а площадь основания — квадратных сантиметров.