Диагональ осевого сечения цилиндра равна 5 см, высота 3 см. найдите объем и площадь полной поверхности...

Для решения задачи найдем шаг за шагом объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Дано:

• Диагональ осевого сечения цилиндра (d): 5 см
• Высота цилиндра (h): 3 см

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте ( h ), а другая — равна диаметру основания цилиндра (( 2r )). Диагональ этого прямоугольника равна ( d ).

Шаг 1: Найти радиус основания цилиндра

Используем теорему Пифагора для осевого сечения, где диагональ ( d ), высота ( h ), и диаметр ( 2r ) связаны следующим образом: [ d^2 = h^2 + (2r)^2 ] Подставим известные данные (( d = 5 ), ( h = 3 )) и решим уравнение: [ 5^2 = 3^2 + (2r)^2 ] [ 25 = 9 + 4r^2 ] [ 4r^2 = 16 ] [ r^2 = 4 ] [ r = 2 \, \text{см} ]

Шаг 2: Найти объем цилиндра

Объем цилиндра вычисляется по формуле: [ V = \pi r^2 h ] Подставим значения ( r = 2 ) и ( h = 3 ): [ V = \pi \cdot 2^2 \cdot 3 ] [ V = \pi \cdot 4 \cdot 3 ] [ V = 12\pi \, \text{см}^3 ]

Шаг 3: Найти площадь полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из двух кругов (оснований) и боковой поверхности. Формула площади: [ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h ] Подставим значения ( r = 2 ) и ( h = 3 ): [ S = 2\pi \cdot 2^2 + 2\pi \cdot 2 \cdot 3 ] [ S = 2\pi \cdot 4 + 2\pi \cdot 6 ] [ S = 8\pi + 12\pi ] [ S = 20\pi \, \text{см}^2 ]

Ответ:

1. Объем цилиндра: ( V = 12\pi \, \text{см}^3 )
2. Площадь полной поверхности цилиндра: ( S = 20\pi \, \text{см}^2 )

Для решения задачи необходимо сначала определить радиус основания цилиндра, используя данные о диагонали осевого сечения.

Шаг 1: Найдем радиус основания цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, где:

• одна катета равен радиусу основания ( r ),
• другой катет равен высоте цилиндра ( h = 3 ) см,
• гипотенуза равна диагонали осевого сечения ( d = 5 ) см.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника верно следующее равенство:

[ d^2 = r^2 + h^2. ]

Подставим известные значения:

[ 5^2 = r^2 + 3^2, ] [ 25 = r^2 + 9. ]

Теперь решим уравнение для нахождения радиуса:

[ r^2 = 25 - 9, ] [ r^2 = 16, ] [ r = 4 \text{ см}. ]

Шаг 2: Найдем объем цилиндра.

Формула для вычисления объема цилиндра:

[ V = \pi r^2 h. ]

Подставим найденный радиус и высоту:

[ V = \pi (4^2) (3), ] [ V = \pi (16) (3), ] [ V = 48\pi \text{ см}^3. ]

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Формула для вычисления площади полной поверхности:

[ S = 2\pi r h + 2\pi r^2, ]

где ( 2\pi rh ) — площадь боковой поверхности и ( 2\pi r^2 ) — площадь двух оснований.

Подставим известные значения:

[ S = 2\pi (4)(3) + 2\pi (4^2), ] [ S = 24\pi + 32\pi, ] [ S = 56\pi \text{ см}^2. ]

Итог:

• Объем цилиндра: ( V = 48\pi \text{ см}^3 ) (примерно ( 150.8 \text{ см}^3 ) при ( \pi \approx 3.14 )).
• Площадь полной поверхности цилиндра: ( S = 56\pi \text{ см}^2 ) (примерно ( 175.84 \text{ см}^2 ) при ( \pi \approx 3.14 )).