Диагональ прямоугольника равна 18 см, она составляет с его стороной угол 30. Прямоугольник вращается...

а) Длина высоты цилиндра равна длине диагонали прямоугольника, то есть 18 см. б) Площадь основания цилиндра равна площади прямоугольника, то есть S = a b, где a и b - стороны прямоугольника. По теореме Пифагора находим стороны прямоугольника: a = 18 cos(30°) = 15.59 см, b = 18 sin(30°) = 9 см. Тогда S = 15.59 9 = 140.31 см^2. в) Площадь осевого сечения цилиндра равна площади прямоугольника, то есть S = 140.31 см^2.

Давайте решим задачу, начиная с геометрических свойств прямоугольника и цилиндра.

1. Анализ прямоугольника:

   • У нас есть прямоугольник, диагональ которого равна (18) см, и она составляет угол (30^\circ) с одной из сторон. Пусть эта сторона будет (a), а другая сторона — (b).
   • Из тригонометрических соотношений, используя угол (30^\circ), можем записать: [ \cos(30^\circ) = \frac{a}{18} ] [ a = 18 \cdot \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см} ]
   • Далее, используя теорему Пифагора для прямоугольника, получаем: [ a^2 + b^2 = 18^2 ] [ (9\sqrt{3})^2 + b^2 = 324 ] [ 243 + b^2 = 324 ] [ b^2 = 81 ] [ b = 9 \text{ см} ]

2. Вращение прямоугольника вокруг большей стороны:

   • Прямоугольник вращается вокруг большей стороны, которая (9\sqrt{3}) см. Следовательно, радиус основания цилиндра будет равен меньшей стороне прямоугольника (b = 9) см.
   • Высота цилиндра будет равна большей стороне прямоугольника (a = 9\sqrt{3}) см.

3. Решение задачи по частям:

   а) Длина высоты цилиндра: [ \text{Высота} = 9\sqrt{3} \text{ см} ]

   б) Площадь основания цилиндра: [ \text{Площадь основания} = \pi r^2 = \pi \cdot 9^2 = 81\pi \text{ см}^2 ]

   в) Площадь осевого сечения цилиндра:

   • Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник с одной стороной равной диаметру основания цилиндра, а другой — высоте цилиндра.
   • Диаметр основания = (2r = 18 \text{ см})
   • Высота = (9\sqrt{3} \text{ см}) [ \text{Площадь осевого сечения} = 18 \cdot 9\sqrt{3} = 162\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, мы нашли все необходимые параметры цилиндра, полученного в результате вращения прямоугольника вокруг его большей стороны.