Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС ; б) АВ и DA;...

а) Угол между векторами AB и AC равен углу между сторонами квадрата ABCD, то есть 90 градусов.

б) Угол между векторами AB и DA также равен 90 градусов, так как это угол между сторонами квадрата.

в) Угол между векторами OA и OV равен 90 градусов, так как это угол между диагоналями квадрата.

г) Угол между векторами AO и OV также равен 90 градусов, так как это угол между диагоналями квадрата.

д) Угол между векторами OA и OC равен 45 градусов, так как это угол между диагоналями квадрата.

е) Угол между векторами AC и BD равен 90 градусов, так как это угол между диагоналями квадрата.

ж) Угол между векторами AD и DB равен 90 градусов, так как это угол между сторонами квадрата.

з) Угол между векторами OA и OC также равен 45 градусов, так как это угол между диагоналями квадрата.

Конечно, давайте разберем каждый из этих случаев:

Основные свойства квадрата:

1. Все стороны квадрата равны.
2. Диагонали квадрата равны, пересекаются в точке, которая делит их пополам, и перпендикулярны друг другу.
3. Диагонали квадрата делят его на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника.

Теперь рассмотрим каждый из случаев:

а) Угол между векторами ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} )

Векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ) исходят из одной вершины и образуют угол, равный углу ( \angle BAC ). Поскольку ( \angle BAC = 45^\circ ) (диагональ делит угол квадрата пополам), угол между векторами ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ) равен ( 45^\circ ).

б) Угол между векторами ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{DA} )

Векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{DA} ) сонаправлены с двумя сторонами квадрата, выходящими из вершины ( A ). Угол между этими векторами равен ( 90^\circ ) (так как угол между смежными сторонами квадрата равен ( 90^\circ )).

в) Угол между векторами ( \mathbf{OA} ) и ( \mathbf{OB} )

Оба вектора являются половинами диагоналей квадрата и равны по длине. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому угол между векторами ( \mathbf{OA} ) и ( \mathbf{OB} ) равен ( 90^\circ ).

г) Угол между векторами ( \mathbf{AO} ) и ( \mathbf{OB} )

Этот угол фактически составляет половину угла между диагоналями ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ), который равен ( 90^\circ ). Следовательно, угол между ( \mathbf{AO} ) и ( \mathbf{OB} ) равен ( 45^\circ ).

д) Угол между векторами ( \mathbf{OA} ) и ( \mathbf{OC} )

Векторы ( \mathbf{OA} ) и ( \mathbf{OC} ) лежат на одной и той же диагонали квадрата, поэтому они сонаправлены. Угол между ними равен ( 0^\circ ).

е) Угол между векторами ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} )

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, поэтому угол между векторами ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ) равен ( 90^\circ ).

ж) Угол между векторами ( \mathbf{AD} ) и ( \mathbf{DB} )

Векторы ( \mathbf{AD} ) и ( \mathbf{DB} ) образуют угол равный углу ( \angle ADB ), который равен ( 90^\circ ) (так как это угол между двумя смежными сторонами квадрата).

з) Угол между векторами ( \mathbf{AO} ) и ( \mathbf{OC} )

Как и в случае ( \mathbf{OA} ) и ( \mathbf{OC} ), эти векторы сонаправлены, находясь на одной диагонали, поэтому угол между ними равен ( 0^\circ ).

Таким образом, мы разобрали каждый из заданных углов, используя свойства квадрата и его диагоналей.