Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке K. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр...

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами периметра прямоугольника и периметров треугольников.

Периметр прямоугольника CDEF равен сумме всех его сторон: 2(CD + DE) = 28 см. Так как периметры треугольников CDK и DEK равны 16 см и 18 см соответственно, то CD + DK + KC = 16 см и DE + EK + KC = 18 см.

Из этих уравнений можем выразить DK и EK: DK = 16 - CD - KC, EK = 18 - DE - KC.

Теперь подставим это в уравнение периметра прямоугольника: 2(CD + DE) = 28, CD + DE = 14.

Также, по свойству диагоналей прямоугольника, диагонали равны между собой: CD^2 + DE^2 = DK^2 + EK^2.

Подставляем найденные значения DK и EK: CD^2 + DE^2 = (16 - CD - KC)^2 + (18 - DE - KC)^2.

Решив это уравнение, получим значения сторон прямоугольника CDEF: CD = 6 см, DE = 8 см, DK = 6 см, EK = 8 см.

Рассмотрим прямоугольник (CDEF) с диагоналями, пересекающимися в точке (K). Поскольку диагонали прямоугольника равны и делятся пополам в точке пересечения, можно сделать несколько выводов:

1. Пусть (a) и (b) — длины сторон прямоугольника (CDEF).
2. Диагонали делятся пополам в точке (K), поэтому точка (K) является серединой каждой диагонали.

Периметр прямоугольника равен: [ P = 2(a + b) ] По условию: [ 2(a + b) = 28 \implies a + b = 14 ]

Теперь рассмотрим треугольники (CDK) и (DEK):

• Периметр треугольника (CDK) равен 16 см.
• Периметр треугольника (DEK) равен 18 см.

Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, следовательно, каждая диагональ равна: [ \sqrt{a^2 + b^2} ]

Так как (K) — середина диагоналей, отрезки (CK), (DK), (EK) и (FK) равны и составляют половину диагонали: [ CK = DK = EK = FK = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} ]

Рассмотрим периметр треугольника (CDK): [ CD + DK + CK = 16 ] Так как (DK = CK): [ CD + 2 \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = 16 ] [ a + \sqrt{a^2 + b^2} = 16 ]

Теперь рассмотрим периметр треугольника (DEK): [ DE + EK + DK = 18 ] [ b + 2 \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = 18 ] [ b + \sqrt{a^2 + b^2} = 18 ]

У нас есть две системы уравнений:

1. (a + b = 14)
2. (a + \sqrt{a^2 + b^2} = 16)
3. (b + \sqrt{a^2 + b^2} = 18)

Вычтем второе уравнение из третьего: [ (b + \sqrt{a^2 + b^2}) - (a + \sqrt{a^2 + b^2}) = 18 - 16 ] [ b - a = 2 ]

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. (a + b = 14)
2. (b - a = 2)

Решим эту систему: Сложим оба уравнения: [ (a + b) + (b - a) = 14 + 2 ] [ 2b = 16 \implies b = 8 ]

Теперь подставим значение (b) в первое уравнение: [ a + 8 = 14 \implies a = 6 ]

Итак, длины сторон прямоугольника (CDEF) равны 6 см и 8 см.