Диагонали прямоугольной трапеции ABCD взаимно перпендикулярны. Короткая боковая сторона AB равна 18 см, длинное основание AD равно 24 см.
Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойствами прямоугольной трапеции и фактом о перпендикулярности диагоналей.
Поскольку диагонали в прямоугольной трапеции перпендикулярны, то они делят друг друга пополам в точке пересечения O. Пусть OC = x и AO = y, тогда BO = x и DO = y (по свойству перпендикулярных диагоналей, которые делятся пополам).
Также можно заметить, что прямоугольные треугольники AOB и COD подобны (по двум углам, один из которых прямой, и общему углу между диагоналями).
Так как AB = 18 см, AD = 24 см, и треугольники AOB и COD подобны, соотношение между отрезками AO и DO такое же, как и между AB и BC (так как BC является гипотенузой для треугольника AOB, а AD - для COD).
Из условия о перпендикулярности диагоналей следует, что диагонали разбивают трапецию на два прямоугольных треугольника и один равнобедренный треугольник. Из прямоугольного треугольника AOB, где AB = 18 см и AO = y, BO = x, следует, что: [ AB^2 = AO^2 + BO^2 ] [ 18^2 = y^2 + x^2 ] [ 324 = y^2 + x^2 ]
Из прямоугольного треугольника COD, где CD = BC и DO = y, CO = x, получим: [ CD^2 = DO^2 + CO^2 ] [ BC^2 = y^2 + x^2 ] [ BC^2 = 324 ] [ BC = 18 см ]
Так как треугольники AOB и COD подобны, и AB = BC = 18 см, то AO = BO и DO = CO. Поскольку диагонали перпендикулярны и делятся пополам: [ AO = BO = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 18 = 9 см ] [ DO = CO = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 18 = 9 см ]
Таким образом, короткое основание BC = 18 см, CO = 9 см, AO = 9 см, BO = 9 см, и DO = 9 см.
