Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, и большая из них точкой пересечения делится...

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции и условием взаимной перпендикулярности диагоналей.

Пусть трапеция ( ABCD ) с основаниями ( AB ) и ( CD ), где ( AB > CD ), ( AD ) и ( BC ) — боковые стороны, и ( \angle DAB = 90^\circ ). Диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ) и перпендикулярны друг другу. По условию, диагональ ( AC ) делится точкой пересечения диагоналей на отрезки ( AO = 36 ) и ( OC = 64 ).

Поскольку ( AC ) и ( BD ) перпендикулярны, то ( \triangle AOD ) и ( \triangle BOC ) прямоугольные. Рассмотрим прямоугольные треугольники ( \triangle AOD ) и ( \triangle BOC ).

1. Известно, что ( AO = 36 ) и ( OC = 64 ). По теореме Пифагора находим длину диагонали ( AC ): [ AC = AO + OC = 36 + 64 = 100. ]

2. Поскольку диагонали перпендикулярны, то точки пересечения делят диагонали на отрезки, которые являются катетами прямоугольных треугольников. Таким образом, в ( \triangle AOD ) и ( \triangle BOC ) гипотенузы равны соответственно ( AD ) и ( BC ), а катеты ( AO = 36 ), ( OC = 64 ).

3. Поскольку ( \angle DAB = 90^\circ ), то ( AD ) является высотой трапеции. Воспользуемся свойством, что произведение отрезков, на которые делится каждая диагональ, равно: [ AO \cdot OC = BO \cdot OD. ]

4. Подставим известные значения: [ 36 \cdot 64 = BO \cdot OD. ]

5. Выразим ( BO ) и ( OD ) через основание ( x ) (где ( OD = x ) и ( BO = \frac{2304}{x} )) и применим теорему Пифагора к треугольникам: [ AB = \sqrt{AD^2 + BO^2} = \sqrt{100^2 + \left(\frac{2304}{x}\right)^2}, ] [ CD = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{100^2 + x^2}. ]

6. Сравнивая выражения, можно заключить, что сумма квадратов оснований равна сумме квадратов диагоналей. Итак, решая это уравнение, находим основания трапеции.

В результате решения мы получаем, что основания трапеции равны 80 и 60.

Пусть основания трапеции равны а и b, а высота равна h. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то получаем два прямоугольных треугольника: один с катетами a и h, а гипотенузой 64, а другой с катетами b и h, а гипотенузой 36.

Из первого треугольника по теореме Пифагора получаем уравнение: a^2 + h^2 = 64^2

Из второго треугольника: b^2 + h^2 = 36^2

Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то прямоугольные треугольники равны, а значит и уравнения равны: a^2 + h^2 = b^2 + h^2

64^2 = 36^2 a^2 = 1600 a = 40

Подставляем a = 40 в уравнение первого треугольника: 40^2 + h^2 = 64^2 1600 + h^2 = 4096 h^2 = 2496 h = √2496 ≈ 49.96

Теперь подставляем найденное h в уравнение второго треугольника: b^2 + 49.96^2 = 36^2 b^2 + 2496 = 1296 b^2 = 1296 - 2496 b^2 = 1200 b = √1200 ≈ 34.64

Итак, основания трапеции равны 40 и 34.64.

Пусть основания трапеции равны a и b (a > b). Тогда из условия имеем:

a^2 = 36^2, b^2 = 64^2

a = 36, b = 64

Ответ: основания трапеции равны 36 и 64.