Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 14 и 16 см. Чему равна площадь трапеции?

Чтобы найти площадь трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны и равны 14 см и 16 см, можно воспользоваться формулой, которая связывает длины диагоналей и площадь трапеции. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции ( S ) можно вычислить по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 ]

где ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей.

В данном случае ( d_1 = 14 ) см и ( d_2 = 16 ) см. Подставим эти значения в формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 16 ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot 224 ]

[ S = 112 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь трапеции равна 112 квадратным сантиметрам.

Для нахождения площади трапеции с известными длинами диагоналей, нам необходимо использовать формулу:

S = (a + b) * h / 2,

где а и b - длины оснований трапеции, h - высота трапеции.

Поскольку диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то мы можем составить прямоугольный треугольник с диагоналями в качестве гипотенуз и катетов. По теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = 14^2, a^2 + b^2 = 196,

и

a^2 + b^2 = 16^2, a^2 + b^2 = 256.

Решим систему уравнений:

a^2 + b^2 = 196, a^2 + b^2 = 256.

Вычитая первое уравнение из второго, получим:

256 - 196 = 60, a^2 + b^2 = 60.

Теперь найдем длины оснований трапеции:

a = 2 π / √5, b = 2 π / √5.

Теперь нам нужно найти высоту трапеции h. Для этого воспользуемся формулой:

h = √(16^2 - (a - b)^2), h = √(256 - (4π^2 / 5)), h = √(256 - 4), h = √252, h = 2√63.

Теперь подставим все значения в формулу для нахождения площади трапеции:

S = (a + b) h / 2, S = (2π / √5 + 2π / √5) 2√63 / 2, S = (4π / √5) * √63, S = 4π√(63 / 5).

Полученное выражение является площадью трапеции.