Диаметр основания конуса равен 6см,образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов.найти...

Чтобы найти объем шара, описанного около конуса, давайте подробно разберем задачу.

Дано:

1. Диаметр основания конуса ( D = 6 \, \text{см} ), соответственно, радиус основания конуса ( R = \frac{D}{2} = 3 \, \text{см} ).
2. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ( \alpha = 60^\circ ).

Необходимо найти объем шара, описанного около данного конуса.

Шаг 1. Связь между описанным шаром и конусом

Шар описан около конуса, а это значит, что все вершины конуса (основание и вершина) лежат на поверхности этого шара. Центр описанного шара совпадает с серединой высоты конуса, так как радиус шара проходит через вершину конуса и центр его основания.

Для описанного шара радиус ( R_{\text{шара}} ) равен расстоянию от центра шара до любой точки на поверхности шара (например, до вершины конуса или до края основания).

Шаг 2. Высота и параметры конуса

Чтобы определить радиус описанного шара, нужно вычислить высоту конуса ( h ). Связь между высотой ( h ), радиусом основания ( R ) и длиной образующей ( l ) задается через свойства прямоугольного треугольника, который образуют ( h ), ( R ) и ( l ).

Найдем длину образующей ( l ):

Так как образующая наклонена к плоскости основания под углом ( \alpha = 60^\circ ), то: [ \cos \alpha = \frac{R}{l}. ] Отсюда: [ l = \frac{R}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{0,5} = 6 \, \text{см}. ]

Найдем высоту конуса ( h ):

Высота ( h ), радиус основания ( R ) и образующая ( l ) связаны теоремой Пифагора: [ l^2 = h^2 + R^2. ] Подставим известные значения: [ 6^2 = h^2 + 3^2, ] [ 36 = h^2 + 9, ] [ h^2 = 36 - 9 = 27, ] [ h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Шаг 3. Радиус описанного шара

Центр описанного шара лежит на оси конуса, на середине высоты ( h ). Это значит, что радиус описанного шара равен расстоянию от центра основания до вершины шара: [ R_{\text{шара}} = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + R^2}. ]

Подставим значения: [ R{\text{шара}} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 3^2}. ] Вычислим: [ \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{27}{4}, \quad 3^2 = 9. ] Сложим: [ R{\text{шара}} = \sqrt{\frac{27}{4} + 9} = \sqrt{\frac{27}{4} + \frac{36}{4}} = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{\sqrt{63}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \, \text{см}. ]

Шаг 4. Объем описанного шара

Объем шара вычисляется по формуле: [ V = \frac{4}{3} \pi R_{\text{шара}}^3. ]

Подставим ( R_{\text{шара}} = \frac{3\sqrt{7}}{2} ): [ V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^3. ] Вычислим куб радиуса: [ \left(\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^3 = \frac{27 \cdot 7 \cdot \sqrt{7}}{8} = \frac{189\sqrt{7}}{8}. ] Подставим в формулу объема: [ V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{189\sqrt{7}}{8} = \frac{756\pi \sqrt{7}}{24} = \frac{63\pi \sqrt{7}}{2} \, \text{см}^3. ]

Ответ:

Объем описанного шара равен: [ V = \frac{63\pi \sqrt{7}}{2} \, \text{см}^3 \, \text{или примерно} \, 292,13 \, \text{см}^3. ]

Для решения задачи сначала найдем необходимые параметры конуса и затем определим объем шара, описанного около него.

1. Параметры конуса:

   • Диаметр основания конуса равен 6 см, следовательно, радиус основания ( r = \frac{6}{2} = 3 ) см.
   • Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ( 60^\circ ). Обозначим длину образующей как ( l ).

2. Высота конуса: Чтобы найти высоту конуса ( h ), воспользуемся тригонометрией. В прямом сечении конуса, образуемом высотой, радиусом и образующей, образуется прямоугольный треугольник, где:

   • одна катета (высота ( h )) противолежит углу ( 60^\circ ),
   • другой катет (радиус основания ( r )) прилежит к углу ( 60^\circ ).

   Используем соотношения в прямом треугольнике: [ \tan(60^\circ) = \frac{h}{r} ] Известно, что ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ), следовательно: [ \sqrt{3} = \frac{h}{3} \implies h = 3\sqrt{3} \text{ см}. ]

3. Длина образующей: Теперь найдем длину образующей ( l ) с помощью косинуса угла: [ \cos(60^\circ) = \frac{r}{l} \implies l = \frac{r}{\cos(60^\circ)} = \frac{3}{0.5} = 6 \text{ см}. ]

4. Центр описанного шара: Центр описанного шара находится на высоте ( R = \frac{l}{3} ) от основания конуса. Таким образом, радиус описанного шара ( R ) равен: [ R = \frac{6}{3} = 2 \text{ см}. ]

5. Объем описанного шара: Объем шара вычисляется по формуле: [ V = \frac{4}{3} \pi R^3. ] Подставляя найденный радиус: [ V = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32}{3} \pi \text{ см}^3. ]

Таким образом, объем шара, описанного около конуса, равен ( \frac{32}{3} \pi ) см³.