Диаметр шара равен 8. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 градусов к нему. Найдите...

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины линии пересечения сферы и плоскости. Для начала определим радиус сферы. Так как диаметр равен 8, то радиус будет равен 4.

Теперь найдем расстояние от центра сферы до плоскости. Это можно сделать, используя теорему Пифагора: (r^2 = a^2 + b^2), где (r) - радиус сферы, (a) - расстояние от центра сферы до плоскости, (b) - радиус шара. Подставляем известные значения: (4^2 = a^2 + 4^2), (16 = a^2 + 16), (a^2 = 0), (a = 0).

Теперь мы знаем, что плоскость проходит через центр сферы. Следовательно, линия пересечения будет равна диаметру сферы, то есть 8.

Итак, длина линии пересечения сферы этой плоскостью равна 8.

Чтобы найти длину линии пересечения сферы с плоскостью, проведённой под углом к диаметру сферы, следует рассмотреть геометрическую фигуру, образующуюся при этом пересечении. В данном случае это окружность, так как пересечение сферы с плоскостью всегда является окружностью.

1. Определение радиуса сферы:

   • Диаметр сферы равен 8, следовательно, радиус ( R ) равен ( \frac{8}{2} = 4 ).

2. Рассмотрение угла наклона плоскости:

   • Плоскость проведена под углом 45 градусов к диаметру сферы. Это означает, что угол между нормалью к плоскости и диаметром также 45 градусов.

3. Проекция радиуса на плоскость:

   • Поскольку плоскость наклонена под углом 45 градусов, мы можем найти вертикальную высоту от центра сферы до плоскости, которая будет равна ( R \cdot \cos(45^\circ) ).
   • ( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), следовательно, высота ( h = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} ).

4. Нахождение радиуса окружности пересечения:

   • Это расстояние от центра сферы до плоскости является высотой от центра окружности пересечения до плоскости (которая является также высотой треугольника, образованного радиусом сферы).
   • Радиус окружности пересечения ( r ) может быть найден с использованием теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это радиус сферы (4), и один из катетов — это высота от центра сферы до плоскости (2(\sqrt{2})).
   • ( r = \sqrt{R^2 - h^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ).

5. Длина окружности пересечения:

   • Длина окружности ( C ) равна ( 2\pi r ).
   • Подставляем найденный радиус окружности: ( C = 2\pi (2\sqrt{2}) = 4\pi\sqrt{2} ).

Таким образом, длина линии пересечения сферы этой плоскостью равна ( 4\pi\sqrt{2} ).