Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 к нему. Найдите площадь...

Дано:

• Шар радиуса ( r ).
• Плоскость, пересекающая шар, проходит через конец диаметра шара и образует угол ( 45^\circ ) с этим диаметром.

Найти:

• Площадь сечения ( S ).

Решение:

1. Построение сечения: Шар имеет центр ( O ) и радиус ( r ). Пусть ( AB ) — диаметр шара, и плоскость пересекает шар через точку ( A ) под углом ( 45^\circ ) к диаметру. Плоскость секущая образует окружность на шаре.

2. Нахождение радиуса сечения: Поскольку плоскость проходит под углом ( 45^\circ ) к диаметру, можно представить, что она образует равнобедренный треугольник ( AOC ), где ( OC ) — радиус шара, лежащий в плоскости сечения, и ( AC ) — радиус окружности сечения. В треугольнике ( AOC ): [ \cos 45^\circ = \frac{OA}{OC} = \frac{r}{OC} ] Так как ( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} ), получаем: [ \frac{r}{OC} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow OC = r \sqrt{2} ] Однако, поскольку ( OC ) должен быть не больше ( r ) (так как это радиус шара), правильно будет записать: [ AC = r \sqrt{2 - 1} = r \sqrt{1} = r ] Таким образом, радиус окружности сечения ( r ) равен радиусу шара.

3. Площадь сечения: Площадь окружности с радиусом ( r ) вычисляется по формуле: [ S = \pi r^2 ]

Ответ: Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через конец диаметра под углом ( 45^\circ ), равна ( \pi r^2 ).

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь сечения шара плоскостью, которая проходит через конец диаметра под углом 45 градусов к нему.

Площадь сечения шара этой плоскостью будет являться кругом, так как при сечении шара плоскостью всегда получается круг.

Для нахождения радиуса этого круга воспользуемся теоремой Пифагора. Поскольку угол между диаметром и плоскостью равен 45 градусов, то получаем, что радиус этого круга равен d/2 sin(45°) = d/2 √2/2 = d/2√2.

Теперь, найдем площадь этого круга по формуле S = πr^2, где r - радиус круга. Подставляя найденное значение радиуса, получаем S = π(d/2√2)^2 = πd^2/8.

Итак, площадь сечения шара этой плоскостью равна πd^2/8.