Диаметры окружности AC и BD пересекаются под углом 90 градусов .Длина дуги BC равна 4п см.Найдите а)радиус...

a) Радиус данной окружности равен 2 см. б) Длина хорды с концами в точках A,B,C,D равна 4 см.

Для начала рассмотрим треугольник ABC, в котором угол в вершине C равен 90 градусов. Поскольку длина дуги BC равна 4π, а дуга BC соответствует углу в 90 градусов, то длина окружности равна 2πR, где R - радиус окружности. Отсюда получаем уравнение:

2πR = 4π, R = 2.

Таким образом, радиус окружности равен 2 см.

Теперь рассмотрим хорду AC. Поскольку диаметры AC и BD пересекаются под углом 90 градусов, то хорда, проходящая через центр окружности, делит другую хорду пополам. Таким образом, хорда AC равна хорде BD, которая равна диаметру окружности, то есть 2R = 4 см.

Итак, длины хорды с концами в точках A, B, C, D равны 4 см.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

• Диаметры окружности ( AC ) и ( BD ) пересекаются под углом 90 градусов.
• Длина дуги ( BC ) равна ( 4\pi ) см.

Требуется найти:

a) Радиус окружности. b) Длины хорд с концами в точках ( A, B, C, D ).

Решение:

a) Нахождение радиуса окружности

Длина дуги ( BC ) равна ( 4\pi ) см. Дуга ( BC ) представляет собой часть окружности, и её центральный угол составляет 90 градусов (поскольку диаметры пересекаются под углом 90 градусов и дуги между диаметрами равны).

Формула для длины дуги: [ L = r \cdot \theta ] где ( L ) — длина дуги, ( r ) — радиус окружности, ( \theta ) — центральный угол в радианах.

Поскольку дуга составляет 90 градусов, то в радианах это: [ \theta = \frac{\pi}{2} ]

Подставим известные значения в формулу: [ 4\pi = r \cdot \frac{\pi}{2} ]

Решим это уравнение относительно ( r ): [ 4\pi = \frac{r\pi}{2} ]

Умножим обе части уравнения на 2: [ 8\pi = r\pi ]

Разделим обе части уравнения на (\pi): [ r = 8 ]

Таким образом, радиус окружности равен 8 см.

b) Нахождение длин хорд

Хорды, которые нужно найти:

• ( AB )
• ( BC )
• ( CD )
• ( DA )

Поскольку ( AB ) и ( CD ) являются диаметрами окружности, их длины равны удвоенному радиусу: [ AB = CD = 2r = 2 \times 8 = 16 \text{ см} ]

Теперь найдем длину хорд ( BC ) и ( DA ). Поскольку эти хорды соединяют точки на окружности и опираются на центральный угол в 90 градусов, это прямые хорды, образующие равнобедренные прямоугольные треугольники с радиусами окружности. Длина хорды рассчитывается по теореме Пифагора: [ BC = DA = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = \sqrt{2}r ]

Подставим значение радиуса: [ BC = DA = \sqrt{2} \times 8 = 8\sqrt{2} \text{ см} ]

Ответ:

a) Радиус окружности равен 8 см. b) Длины хорд: ( AB = 16 ) см, ( BC = 8\sqrt{2} ) см, ( CD = 16 ) см, ( DA = 8\sqrt{2} ) см.