Длины катетов прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см.вычислите расстояние между точкой пересечения...

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан прямоугольного треугольника с заданными длинами катетов.

Сначала найдем длину гипотенузы треугольника с помощью теоремы Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза, a и b - катеты. c^2 = 9^2 + 12^2, c^2 = 81 + 144, c^2 = 225, c = √225, c = 15.

Теперь найдем точку пересечения биссектрис. Биссектриса прямоугольного треугольника делит противоположный ей угол пополам и пересекается с противоположным катетом в некоторой точке, деля его на два отрезка. Пусть точка пересечения биссектрис лежит на катете длиной 9 см, тогда от точки пересечения биссектрис до вершины треугольника расстояние равно 9/3 = 3 см.

Теперь найдем точку пересечения медиан. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы 15 см находится на расстоянии половины длины гипотенузы от вершины треугольника, то есть 15/2 = 7.5 см.

Таким образом, расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан прямоугольного треугольника с длинами катетов 9 см и 12 см равно 7.5 - 3 = 4.5 см.

Для решения данной задачи, сначала найдем основные характеристики прямоугольного треугольника и его центры.

1. Нахождение гипотенузы: Длины катетов ( a = 9 ) см и ( b = 12 ) см. Гипотенуза ( c ) вычисляется по теореме Пифагора: [ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см} ]

2. Координаты вершин треугольника: Пусть ( A(0, 0) ), ( B(9, 0) ) и ( C(0, 12) ).

3. Центр тяжести (точка пересечения медиан): Центр тяжести треугольника, также известный как центроид, определяется как среднее арифметическое координат вершин треугольника: [ G \left( \frac{0 + 9 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 12}{3} \right) = G \left( 3, 4 \right) ]

4. Точка пересечения биссектрис (инцентр): Инцентр треугольника можно найти, используя формулу для координат инцентра: [ I \left( \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a + b + c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a + b + c} \right) ] где ( a = BC = 15 ) см, ( b = AC = 9 ) см, ( c = AB = 12 ) см.

   Подставим координаты вершин: [ I \left( \frac{15 \cdot 0 + 9 \cdot 9 + 12 \cdot 0}{15 + 9 + 12}, \frac{15 \cdot 0 + 9 \cdot 0 + 12 \cdot 12}{15 + 9 + 12} \right) = I \left( \frac{81}{36}, \frac{144}{36} \right) = I \left( \frac{9}{4}, 4 \right) ]

5. Нахождение расстояния между ( G ) и ( I ): Используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ] Подставим координаты ( G(3, 4) ) и ( I \left( \frac{9}{4}, 4 \right) ): [ d = \sqrt{\left( 3 - \frac{9}{4} \right)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{\left( \frac{12}{4} - \frac{9}{4} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^2} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \text{ см} ]

Таким образом, расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан прямоугольного треугольника равно ( \frac{3}{4} ) см.