Доказать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм, если А (8;-3), В (2;5), С (10;11), В (16;3). Найти...

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо проверить следующие условия:

1. Противоположные стороны параллельны: AB || CD и BC || AD.
2. Противоположные стороны равны по длине: AB = CD и BC = AD.

Для начала найдем уравнения прямых, содержащих стороны четырехугольника ABCD:

1. Уравнение прямой AB: Уравнение прямой, проходящей через точки A(8;-3) и B(2;5), можно найти, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки: y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) (x - x₁) y + 3 = ((5 + 3) / (2 - 8)) (x - 8) y + 3 = (-1) * (x - 8) y + 3 = -x + 8 x + y = 5

2. Уравнение прямой BC: Уравнение прямой, проходящей через точки B(2;5) и C(10;11): y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) (x - x₁) y - 5 = ((11 - 5) / (10 - 2)) (x - 2) y - 5 = (6/8) * (x - 2) y - 5 = (3/4)x - 3/2 3x - 4y = -7

3. Уравнение прямой CD: Уравнение прямой, проходящей через точки C(10;11) и D(16;3): y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) (x - x₁) y - 11 = ((3 - 11) / (16 - 10)) (x - 10) y - 11 = (-8/6) * (x - 10) y - 11 = (-4/3)x + 40/3 4x + 3y = 71

4. Уравнение прямой AD: Уравнение прямой, проходящей через точки A(8;-3) и D(16;3): y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) (x - x₁) y + 3 = ((3 + 3) / (16 - 8)) (x - 8) y + 3 = (6/8) * (x - 8) y + 3 = (3/4)x - 6 3x - 4y = 18

Теперь проверим условия параллелограмма:

1. AB || CD: коэффициенты при x и y в уравнениях прямых AB и CD равны, значит, AB || CD.
2. BC || AD: коэффициенты при x и y в уравнениях прямых BC и AD равны, значит, BC || AD.
3. AB = CD: расстояния между точками A и B, C и D равны, следовательно, AB = CD.
4. BC = AD: расстояния между точками B и C, A и D равны, следовательно, BC = AD.

Таким образом, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Для нахождения координат точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD можно решить систему уравнений прямых диагоналей:

1. Уравнение прямой AC: Уравнение прямой, проходящей через точки A(8;-3) и C(10;11): y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) (x - x₁) y + 3 = ((11 + 3) / (10 - 8)) (x - 8) y + 3 = (14/2) * (x - 8) y + 3 = 7x - 56 7x - y = 59

2. Уравнение прямой BD: Уравнение прямой, проходящей через точки B(2;5) и D(16;3): y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) (x - x₁) y - 5 = ((3 - 5) / (16 - 2)) (x - 2) y - 5 = (-2/14) * (x - 2) y - 5 = (-1/7)x + 2/7 7x + y = 47

Теперь найдем точку пересечения диагоналей, решив систему уравнений: 7x - y = 59 7x + y = 47

Путем решения данной системы уравнений можно найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

Для начала давайте проверим, является ли четырехугольник ABCD параллелограммом. Для этого нам нужно проверить, равны ли противоположные стороны и/или равны ли их векторы.

У нас есть координаты точек: A (8, -3) B (2, 5) C (10, 11) D (16, 3)

Проверка параллелограмма

1. Вектор AB: ( \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 8, 5 - (-3)) = (-6, 8) )

2. Вектор CD: ( \overrightarrow{CD} = D - C = (16 - 10, 3 - 11) = (6, -8) )

Как видно, векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) противоположны по направлению и равны по длине, то есть: [ \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD} ]

1. Вектор BC: ( \overrightarrow{BC} = C - B = (10 - 2, 11 - 5) = (8, 6) )

2. Вектор DA: ( \overrightarrow{DA} = A - D = (8 - 16, -3 - 3) = (-8, -6) )

Как видно, векторы ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{DA} ) противоположны по направлению и равны по длине, то есть: [ \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA} ]

Таким образом, противоположные стороны четырехугольника ABCD равны и параллельны, следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Нахождение координат точки пересечения диагоналей

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам. Следовательно, точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ на две равные части.

Координаты точки пересечения диагоналей можно найти как среднее арифметическое координат противоположных вершин.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке ( E ).

Координаты точки E: [ E_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9 ] [ E_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = 4 ]

Проверим для диагонали BD: [ E_x = \frac{B_x + D_x}{2} = \frac{2 + 16}{2} = 9 ] [ E_y = \frac{B_y + D_y}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 ]

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD: [ E (9, 4) ]

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, и координаты точки пересечения его диагоналей — (9, 4).