Доказать, что четырехугольник KMPT является прямоугольником, если точка K имеет координаты (0;-6;0),...

Для того чтобы доказать, что четырехугольник KMPT является прямоугольником, необходимо убедиться, что его стороны перпендикулярны друг другу.

1. Найдем векторы сторон четырехугольника KMPT: Вектор КМ: (1;0;1) - (0;-6;0) = (1;6;1) Вектор МР: (0;0;2) - (1;0;1) = (-1;0;1) Вектор РТ: (-1;-6;1) - (0;0;2) = (-1;-6;-1) Вектор ТК: (0;-6;0) - (-1;-6;1) = (1;0;-1)

2. Проверим, являются ли векторы перпендикулярными попарно: Скалярное произведение векторов КМ и МР: (1;6;1) (-1;0;1) = 1(-1) + 60 + 11 = 0 Скалярное произведение векторов МР и РТ: (-1;0;1) (-1;-6;-1) = (-1)(-1) + 0(-6) + 1(-1) = 0 Скалярное произведение векторов РТ и ТК: (-1;-6;-1) (1;0;-1) = (-1)1 + (-6)0 + (-1)(-1) = 0 Скалярное произведение векторов ТК и КМ: (1;0;-1) (1;6;1) = 11 + 06 + (-1)1 = 0

3. Так как скалярное произведение всех векторов равно 0, значит, стороны четырехугольника KMPT перпендикулярны друг другу. Следовательно, четырехугольник KMPT является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник KMPT является прямоугольником, необходимо показать, что он имеет четыре угла по 90 градусов. Мы можем сделать это, доказав, что смежные стороны четырехугольника перпендикулярны. Для этого будем использовать векторный метод.

1. Вычисление векторов сторон четырехугольника:

   • Вектор KM:
     ( \overrightarrow{KM} = (1 - 0, 0 + 6, 1 - 0) = (1, 6, 1) )

   • Вектор MP:
     ( \overrightarrow{MP} = (0 - 1, 0 - 0, 2 - 1) = (-1, 0, 1) )

   • Вектор PT:
     ( \overrightarrow{PT} = (-1 - 0, -6 - 0, 1 - 2) = (-1, -6, -1) )

   • Вектор TK:
     ( \overrightarrow{TK} = (0 + 1, -6 + 6, 0 - 1) = (1, 0, -1) )

2. Проверка перпендикулярности векторов:

   Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

   • KM и MP:
     ( \overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{MP} = (1)(-1) + (6)(0) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0 )

   • MP и PT:
     ( \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{PT} = (-1)(-1) + (0)(-6) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0 )

   • PT и TK:
     ( \overrightarrow{PT} \cdot \overrightarrow{TK} = (-1)(1) + (-6)(0) + (-1)(-1) = -1 + 0 + 1 = 0 )

   • TK и KM:
     ( \overrightarrow{TK} \cdot \overrightarrow{KM} = (1)(1) + (0)(6) + (-1)(1) = 1 + 0 - 1 = 0 )

3. Вывод:

   Поскольку скалярные произведения всех смежных векторов равны нулю, векторы перпендикулярны, а следовательно, все углы четырехугольника равны 90 градусам. Это означает, что четырехугольник KMPT является прямоугольником.