Докажите, что четырехугольник АВСD - параллелограмм, если А(2;1;2), В(1;0;6), С(-2;1;4), D(-1;2;0).

Для того чтобы доказать, что четырехугольник (ABCD) является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны и равны по длине. Один из способов сделать это — использовать векторный анализ.

Даны координаты точек:

• (A(2, 1, 2))
• (B(1, 0, 6))
• (C(-2, 1, 4))
• (D(-1, 2, 0))

Рассчитаем векторы сторон четырехугольника:

• ( \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, 0 - 1, 6 - 2) = (-1, -1, 4) )
• ( \overrightarrow{CD} = D - C = (-1 - (-2), 2 - 1, 0 - 4) = (1, 1, -4) )
• ( \overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 1, 1 - 0, 4 - 6) = (-3, 1, -2) )
• ( \overrightarrow{DA} = A - D = (2 - (-1), 1 - 2, 2 - 0) = (3, -1, 2) )

Теперь проверим параллельность и равенство длин противоположных сторон:

1. Векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ):

   • (\overrightarrow{AB} = (-1, -1, 4))
   • (\overrightarrow{CD} = (1, 1, -4))

   Видно, что ( \overrightarrow{CD} = - \overrightarrow{AB} ), что означает, что векторы коллинеарны и противоположны по направлению. Это подтверждает, что (AB \parallel CD) и их длины равны.

2. Векторы ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{DA} ):

   • (\overrightarrow{BC} = (-3, 1, -2))
   • (\overrightarrow{DA} = (3, -1, 2))

   Видно, что ( \overrightarrow{DA} = - \overrightarrow{BC} ), что также означает, что векторы коллинеарны и противоположны по направлению. Это подтверждает, что (BC \parallel DA) и их длины равны.

Таким образом, противоположные стороны четырехугольника (ABCD) попарно равны и параллельны. Это означает, что четырехугольник (ABCD) является параллелограммом.

Следовательно, мы доказали, что четырехугольник (ABCD) является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо проверить выполнение двух условий: соответствующие стороны параллельны и соответствующие стороны равны.

1. Проверим, являются ли стороны AB и CD параллельными. Вектор AB = B - A = (1-2, 0-1, 6-2) = (-1, -1, 4) и вектор CD = D - C = (-1 - (-2), 2-1, 0-4) = (1, 1, -4). Для того чтобы вектора были параллельными, их координаты должны быть пропорциональными. Проверим это: (-1)/1 = -1, (-1)/1 = -1, 4/(-4) = -1. Таким образом, AB || CD.

2. Проверим, равны ли стороны AB и CD. Длина вектора AB: |AB| = √((-1)^2 + (-1)^2 + 4^2) = √(1 + 1 + 16) = √18. Длина вектора CD: |CD| = √(1^2 + 1^2 + (-4)^2) = √(1 + 1 + 16) = √18. Таким образом, |AB| = |CD|.

Таким образом, четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его стороны AB и CD параллельны и равны.

Докажем, что векторы AB и DC равны.

Вектор AB = B - A = (1-2; 0-1; 6-2) = (-1; -1; 4) Вектор DC = C - D = (-2+1; 1-2; 4-0) = (-1; -1; 4)

Таким образом, векторы AB и DC равны, что означает, что четырехугольник ABCD - параллелограмм.