Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин P(3;0),S(-1;3),Q(-4;-1),T(0;-4),...

Чтобы доказать, что четырехугольник PSQT является квадратом, нам нужно убедиться, что все четыре стороны равны и все углы прямые. Для начала найдем длины сторон PS, SQ, QT и TP по формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

1. Длина PS: [ PS = \sqrt{((-1) - 3)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

2. Длина SQ: [ SQ = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

3. Длина QT: [ QT = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

4. Длина TP: [ TP = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Все стороны равны, что является одним из необходимых условий для того, чтобы фигура была квадратом.

Теперь проверим углы. Если четырехугольник квадрат, то все его углы должны быть прямыми. Один из способов проверить это - вычислить скалярное произведение векторов, образующих смежные стороны; оно должно быть равно 0, если угол между ними прямой. Векторы для соседних сторон:

• Вектор PS: (S - P) = (-1 - 3, 3 - 0) = (-4, 3)
• Вектор SQ: (Q - S) = (-4 - (-1), -1 - 3) = (-3, -4)
• Вектор QT: (T - Q) = (0 - (-4), -4 - (-1)) = (4, -3)
• Вектор TP: (P - T) = (3 - 0, 0 - (-4)) = (3, 4)

Скалярные произведения:

• PS и SQ: (-4)(-3) + 3(-4) = 12 - 12 = 0
• SQ и QT: (-3)(4) + (-4)(-3) = -12 + 12 = 0
• QT и TP: (4)(3) + (-3)(4) = 12 - 12 = 0
• TP и PS: (3)(-4) + (4)(3) = -12 + 12 = 0

Так как все скалярные произведения равны 0, все углы четырехугольника прямые.

Теперь, когда мы установили, что PSQT является квадратом, мы можем вычислить его площадь. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны: [ \text{Площадь} = 5^2 = 25 ]

Таким образом, площадь квадрата PSQT равна 25 квадратным единицам.

Чтобы доказать, что четырехугольник PSQT является квадратом, нужно убедиться, что все его стороны равны между собой и что противоположные стороны параллельны.

1. Вычислим длины сторон PSQT:
   • Сторона PS: ( \sqrt{(3-(-1))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 )
   • Сторона SQ: ( \sqrt{(-1-(-4))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 )
   • Сторона QT: ( \sqrt{(-4-0)^2 + (-1-(-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 )
   • Сторона TP: ( \sqrt{(0-3)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 )

Таким образом, все стороны четырехугольника PSQT равны 5, что означает, что он является квадратом.

1. Проверим, что противоположные стороны параллельны. Для этого вычислим коэффициенты наклона противоположных сторон:
   • Сторона PS: коэффициент наклона = ( \frac{3-0}{-1-3} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} )
   • Сторона QT: коэффициент наклона = ( \frac{-4-0}{0-(-4)} = \frac{-4}{4} = -1 )

Коэффициенты наклона противоположных сторон равны -3/4 и -1, что не совпадает, поэтому противоположные стороны не параллельны.

Таким образом, четырехугольник PSQT не является квадратом.

1. Для вычисления площади квадрата можно воспользоваться формулой ( S = a^2 ), где a - длина стороны квадрата. В данном случае a = 5, поэтому площадь квадрата PSQT равна ( 5^2 = 25 ) квадратных единиц.

Четырехугольник PSQT - квадрат, так как его диагонали PS и QT равны друг другу и перпендикулярны. Площадь квадрата можно вычислить по формуле S = a^2, где a - длина стороны квадрата. Длина стороны квадрата равна длине отрезка PS (или QT), которую можно найти по формуле d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Таким образом, S = d^2 = ((3 + 1)^2 + (0 - 3)^2) = 4 + 9 = 13. Получаем, что площадь квадрата PSQT равна 13.