Докажите, что если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Докажите, что если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Докажем, что если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Рассмотрим два угла: угол ( \alpha ) с вершиной в точке ( A ) и угол ( \beta ) с вершиной в точке ( B ). Пусть стороны угла ( \alpha ) обозначим как ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ), а стороны угла ( \beta ) как ( \overrightarrow{BD} ) и ( \overrightarrow{BE} ).
Условие задачи состоит в том, что стороны этих углов сонаправлены, то есть:
Сонаправленность векторов означает, что они лежат на одной прямой или параллельны и имеют одинаковое направление. Таким образом, можно записать:
[ \overrightarrow{AB} = k_1 \cdot \overrightarrow{BD}, \quad k_1 > 0, ] [ \overrightarrow{AC} = k_2 \cdot \overrightarrow{BE}, \quad k_2 > 0. ]
Теперь докажем равенство углов. Угол между двумя векторами можно определить через их скалярное произведение. Для угла ( \alpha ) имеем:
[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}. ]
Аналогично для угла ( \beta ):
[ \cos \beta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BE}|}. ]
Подставим выражения векторов через сонаправленность:
[ \cos \alpha = \frac{(k_1 \cdot \overrightarrow{BD}) \cdot (k_2 \cdot \overrightarrow{BE})}{|k_1 \cdot \overrightarrow{BD}| \cdot |k_2 \cdot \overrightarrow{BE}|} = \frac{k_1 k_2 (\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BE})}{k_1 k_2 |\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BE}|} = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BE}|}. ]
Получаем, что:
[ \cos \alpha = \cos \beta. ]
Из равенства косинусов углов следует равенство самих углов (так как углы в пределах от 0 до 180 градусов).
Таким образом, доказано, что если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Для доказательства равенства углов, достаточно показать, что их соответствующие стороны равны. В данном случае, если стороны углов сонаправлены, то они принадлежат параллельным прямым, и следовательно, углы равны.
Для доказательства данного утверждения рассмотрим два угла, у которых стороны соответственно сонаправлены. Обозначим эти углы как A и B, а их стороны как a1, a2 и b1, b2 соответственно.
По определению сонаправленных сторон, мы имеем a1 || b1 и a2 || b2. Таким образом, углы A и B будут вершинами параллельных прямых a1 и b1, а также прямых a2 и b2.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и A'B'C', где A и A', B и B', C и C' - соответственные вершины углов. Из условия мы знаем, что стороны AB и A'B', BC и B'C' соответственно параллельны. Также известно, что углы A и A' равны, так как стороны соответственно сонаправлены.
По теореме о равенстве углов треугольника (угол-угол-угол) мы можем сделать вывод, что углы B и B' также равны. Таким образом, мы доказали, что если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то эти углы равны.
