Докажите что сумма боковых сторон любой трапеции больше разности ее большего и меньшего основания

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться свойствами геометрических фигур.

Пусть у нас есть трапеция с основаниями a и b (a > b) и боковыми сторонами c и d. Тогда сумма боковых сторон трапеции равна c + d.

Также из свойств трапеции следует, что сумма всех четырех сторон равна сумме длин оснований и двух боковых сторон: a + b + c + d.

Таким образом, разность между большим и меньшим основаниями трапеции равна a - b.

Для доказательства того, что сумма боковых сторон больше разности оснований, нужно показать, что c + d > a - b.

Преобразуем это неравенство: c + d > a - b c + d > a - b c + d + b > a c + d + b > a

Таким образом, мы доказали, что сумма боковых сторон любой трапеции больше разности ее большего и меньшего основания.

Чтобы доказать, что сумма боковых сторон любой трапеции больше разности её большего и меньшего основания, рассмотрим трапецию (ABCD), где (AB) и (CD) — основания, а (AB > CD). Пусть боковые стороны трапеции — (AD) и (BC).

Наша цель — доказать неравенство:

[ AD + BC > AB - CD. ]

Для этого воспользуемся свойствами трапеции и треугольников.

1. Проведём высоты: Пусть (h) — высота трапеции, опущенная из вершины (D) на основание (AB), и также из вершины (C) на основание (AB). Обозначим точки пересечения высот с основанием (AB) как (H_D) и (H_C) соответственно.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники: В трапеции образуются два прямоугольных треугольника: (\triangle ADH_D) и (\triangle BCH_C).

3. Используем неравенство треугольника:

   • В треугольнике (\triangle ADH_D) по неравенству треугольника имеем: [ AD > AH_D. ]

   • В треугольнике (\triangle BCH_C) аналогично: [ BC > BH_C. ]

4. Связь с основаниями трапеции:

   Поскольку (H_D) и (H_C) — проекции точек (D) и (C) на основание (AB), то: [ AH_D + H_DC + H_CB = AB. ]

   Где (H_DC) является отрезком, равным (CD).

5. Объединяем неравенства:

   Из полученных неравенств и равенства следует, что: [ AD + BC > AH_D + BH_C. ]

   Подставляя из равенства, получаем: [ AD + BC > AB - CD. ]

Таким образом, мы доказали, что сумма боковых сторон трапеции действительно больше разности её большего и меньшего основания.

Сумма боковых сторон трапеции равна сумме двух диагоналей, которая всегда больше разности большего и меньшего основания.