Докажите утверждение: Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая...

Для доказательства утверждения, необходимо рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямых и плоскости в пространстве.

Пусть у нас есть две параллельные прямые ( a ) и ( b ), и пусть прямая ( a ) параллельна данной плоскости ( \alpha ). Нам нужно доказать, что прямая ( b ) либо также параллельна плоскости ( \alpha ), либо лежит в ней.

1. Определения и свойства:

   • Две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
   • Прямая параллельна плоскости, если она не пересекается с этой плоскостью, или лежит в ней.

2. Анализ ситуации:

   • Поскольку ( a \parallel b ), они лежат в одной плоскости, назовем её (\beta).
   • По условию, ( a \parallel \alpha ), что означает, что ( a ) не пересекает плоскость (\alpha).

3. Рассмотрим два возможных случая для прямой ( b ):

   Случай 1: Прямая ( b ) не пересекает плоскость ( \alpha ).

   • Если ( b ) не пересекает плоскость (\alpha), это означает, что она параллельна плоскости (\alpha) по определению параллельности прямой и плоскости.

   Случай 2: Прямая ( b ) пересекает плоскость ( \alpha ).

   • Если ( b ) пересекает плоскость (\alpha), то из этого следует, что ( b ) не может быть параллельной плоскости (\alpha).
   • Однако, поскольку ( a \parallel b ), и ( a ) не пересекает плоскость (\alpha), это противоречит условию, что ( b ) пересекает плоскость (\alpha), так как в противном случае ( a ) и ( b ) не могли бы быть параллельны (они должны лежать в одной плоскости и не пересекаться). Следовательно, единственная возможность — это когда прямая ( b ) лежит в плоскости (\alpha).

Таким образом, мы доказали, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Данное утверждение можно доказать, используя свойство параллельных прямых и плоскостей. Если одна из параллельных прямых параллельна данной плоскости, то угол между этой прямой и плоскостью равен 180 градусов. Следовательно, другая параллельная прямая также либо параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим ситуацию, когда одна из параллельных прямых ( l ) параллельна данной плоскости ( P ). Пусть другая параллельная прямая ( m ) не параллельна плоскости ( P ).

Так как прямые ( l ) и ( m ) параллельны, то они лежат в параллельных плоскостях ( Q ) и ( R ) соответственно. Теперь рассмотрим пересечение этих плоскостей ( Q ) и ( R ) с плоскостью ( P ).

Поскольку прямая ( l ) параллельна плоскости ( P ), то она пересекается с плоскостью ( P ) по параллельным прямым. Аналогично, прямая ( m ) пересекает плоскость ( P ) по прямой, не параллельной прямой ( l ).

Таким образом, мы пришли к противоречию, так как предположение о том, что прямая ( m ) не параллельна плоскости ( P ), приводит к тому, что прямая ( m ) пересекает плоскость ( P ) по прямой, не параллельной прямой ( l ). Следовательно, утверждение доказано: если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая либо так же параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.