Две стороны треугольника равны 7 см и корень 98см, а угол , противолежащий большей из них, равен 135...

Для начала найдем третью сторону треугольника. Для этого воспользуемся теоремой косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C), где c - третья сторона треугольника, а и b - известные стороны, C - угол между этими сторонами.

Подставляем известные значения: c^2 = 7^2 + sqrt(98)^2 - 27sqrt(98)cos(135°), c^2 = 49 + 98 - 27sqrt(98)(-sqrt(2)/2), c^2 = 147 + 77sqrt(2), c^2 = 147 + 492, c^2 = 245, c = sqrt(245) = 7sqrt(5).

Теперь найдем другие углы треугольника. Для этого воспользуемся теоремой синусов: sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c, где A, B и C - углы треугольника, a, b и c - противолежащие стороны.

Найдем угол, противолежащий стороне 7 см: sin(A)/7 = sin(135°)/7*sqrt(5), sin(A) = sin(135°)/sqrt(5) = sqrt(2)/2, A = arcsin(sqrt(2)/2) = 45°.

Теперь найдем угол, противолежащий стороне sqrt(98) см: sin(B)/sqrt(98) = sin(135°)/7sqrt(5), sin(B) = sin(135°)sqrt(98)/(7sqrt(5)) = sqrt(2)7/(7*sqrt(5)) = 1/sqrt(5), B = arcsin(1/sqrt(5)) = 30°.

Итак, третья сторона треугольника равна 7*sqrt(5) см, углы при этой стороне равны 45° и 30°, соответственно.

Для решения задачи используем теорему косинусов и некоторые тригонометрические свойства.

1. Обозначения:

   • Пусть ( a = 7 ) см, ( b = \sqrt{98} ) см, ( \gamma = 135^\circ ).
   • Найдем третью сторону ( c ) и углы ( \alpha ) и ( \beta ).

2. Теорема косинусов: Теорема косинусов гласит, что для любого треугольника: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma). ] Подставляем известные величины: [ c^2 = 7^2 + (\sqrt{98})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{98} \cdot \cos(135^\circ). ]

3. Вычисления: [ 7^2 = 49, ] [ (\sqrt{98})^2 = 98, ] [ \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}. ] Подставляем в уравнение: [ c^2 = 49 + 98 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{98} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). ] Упростим выражение: [ c^2 = 49 + 98 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{98} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. ] Заметим, что (\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7 \sqrt{2}): [ c^2 = 49 + 98 + 2 \cdot 7 \cdot 7 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, ] [ c^2 = 49 + 98 + 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 1, ] [ c^2 = 49 + 98 + 98, ] [ c^2 = 245, ] [ c = \sqrt{245} = 7\sqrt{5}. ]

4. Заключение: Третья сторона ( c = 7\sqrt{5} ) см.

5. Находим углы (\alpha) и (\beta):

   Используем теорему синусов: [ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}. ] Найдем (\sin(\gamma)): [ \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

   [ \frac{7\sqrt{5}}{\sin(135^\circ)} = \frac{7\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 7 \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{5}{2}} = 14\sqrt{\frac{5}{2}}. ]

   Теперь найдем (\alpha) и (\beta): [ \sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{7\sqrt{5}} = \frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{7\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}. ]

   [ \sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{\sqrt{98} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{7\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{7\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}. ]

   Следует заметить, что: [ \alpha = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\right), ] [ \beta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right). ] Сумма углов в треугольнике равна 180°: [ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ. ] [ \alpha + \beta = 45^\circ. ]

Таким образом, третья сторона треугольника равна ( 7\sqrt{5} ) см, а углы находятся по вышеуказанным формулам через арксинусы.

Третья сторона треугольника равна 14 см. Углы противолежащие сторонам 7 см и 14 см равны 45° и 90° соответственно.