Давайте разберем каждый из вопросов последовательно:
А1. Какая из перечисленных точек лежит в плоскости YOZ?
Точка лежит в плоскости YOZ, если ее координата по оси X равна 0.
а) А(0;1;1) — координата X равна 0, точка лежит в плоскости YOZ.
б) В(1;2;0) — координата X равна 1, точка не лежит в плоскости YOZ.
в) С(-1;0;5) — координата X равна -1, точка не лежит в плоскости YOZ.
г) D(1;1;2) — координата X равна 1, точка не лежит в плоскости YOZ.
Ответ: а) А(0;1;1).
А2. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В, если А(1;3;-2), М(-2;4;5).
Координаты середины отрезка вычисляются по формуле:
[ M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) ]
Для нахождения координат В (x2, y2, z2) при известных координатах A (x1, y1, z1) и M (xm, ym, zm):
[ xm = \frac{x1 + x2}{2} ]
[ ym = \frac{y1 + y2}{2} ]
[ zm = \frac{z1 + z2}{2} ]
Подставляем известные значения:
[ -2 = \frac{1 + x2}{2} ]
[ 4 = \frac{3 + y2}{2} ]
[ 5 = \frac{-2 + z2}{2} ]
Решаем уравнения:
[ 1 + x2 = -4 \Rightarrow x2 = -5 ]
[ 3 + y2 = 8 \Rightarrow y2 = 5 ]
[ -2 + z2 = 10 \Rightarrow z2 = 12 ]
Ответ: а) В(-5;5;12).
А3. Найдите длину АМ — медианы треугольника АВС, если А(1;2;3), В(6;3;6), С(-2;5;2)
Сначала находим координаты точки М (середины отрезка ВС):
[ M \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) ]
[ M \left( \frac{6 + (-2)}{2}, \frac{3 + 5}{2}, \frac{6 + 2}{2} \right) = M(2;4;4) ]
Теперь находим длину отрезка АМ:
[ AM = \sqrt{(x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2 + (z_A - z_M)^2} ]
[ AM = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 4)^2 + (3 - 4)^2} ]
[ AM = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} ]
[ AM = \sqrt{1 + 4 + 1} ]
[ AM = \sqrt{6} ]
Ответ: г) другой ответ.
А4. Найдите скалярное произведение векторов a(1,-1,2) и b(-1,1,1).
Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:
[ a \cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 ]
Подставляем значения:
[ a \cdot b = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 ]
[ a \cdot b = -1 - 1 + 2 ]
[ a \cdot b = 0 ]
Ответ: б) 0.
А5. Найдите координаты точек, в которые переходит точки А (0,1,2), В (3,-1,4), С (-1,0,-2) при симметрии относительно оси OX.
При симметрии относительно оси OX координаты Y и Z меняют знак.
Для точки A(0,1,2):
[ A' = (0, -1, -2) ]
Для точки B(3,-1,4):
[ B' = (3, 1, -4) ]
Для точки C(-1,0,-2):
[ C' = (-1, 0, 2) ]
Ответ: г) (0,-1,-2), (3,1,-4), (-1,0,2).
В1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна (d) см, а радиус основания — 3 см. Найдите высоту цилиндра.
Диагональ осевого сечения цилиндра образует прямоугольный треугольник с радиусом и высотой цилиндра в качестве катетов и диагональю в качестве гипотенузы.
Пусть высота цилиндра — ( h ).
[ d^2 = (2r)^2 + h^2 ]
[ d^2 = (2 \cdot 3)^2 + h^2 ]
[ d^2 = 36 + h^2 ]
[ h^2 = d^2 - 36 ]
[ h = \sqrt{d^2 - 36} ]
Ответ: ( h = \sqrt{d^2 - 36} ).
В2. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30° и равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса, а боковые стороны равны образующей.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой (h), радиусом (r) и образующей (l):
[ \cos(30°) = \frac{r}{l} ]
[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{8} ]
[ r = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} ]
Высота (h):
[ \sin(30°) = \frac{h}{l} ]
[ \frac{1}{2} = \frac{h}{8} ]
[ h = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 ]
Площадь осевого сечения (равнобедренного треугольника):
[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота ]
[ S = \frac{1}{2} \times (2r) \times h ]
[ S = \frac{1}{2} \times (2 \cdot 4\sqrt{3}) \times 4 ]
[ S = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{3} \times 4 ]
[ S = 16\sqrt{3} ]
Ответ: ( 16\sqrt{3} ) см².
С1. Правильная треугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара 4 см, а ребро основания призмы — 6 см.
В правильной треугольной призме, вписанной в шар, высота призмы и радиус шара образуют прямоугольный треугольник с радиусом шара в качестве гипотенузы, а высота призмы и радиус описанной окружности основания призмы — катетами.
Радиус описанной окружности правильного треугольника с ребром 6 см:
[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]
[ R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ]
Высота призмы ( h ):
[ R{шара}^2 = R{треугольника}^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 ]
[ 4^2 = (2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 ]
[ 16 = 12 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 ]
[ 16 - 12 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 ]
[ 4 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 ]
[ \left(\frac{h}{2}\right) = 2 ]
[ h = 4 ]
Ответ: высота призмы 4 см.
