Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите...

Пусть один катет равен х, тогда другой катет будет x + 2. По теореме Пифагора: x^2 + (x + 2)^2 = 10^2. Решив уравнение, получим: x = 4 см, x + 2 = 6 см. Ответ: катеты треугольника равны 4 см и 6 см.

Пусть один из катетов равен x см, тогда второй катет будет равен (x + 2) см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 2x^2 + 4x + 4 = 100 Далее приводим уравнение к квадратному виду: 2x^2 + 4x - 96 = 0 Решаем квадратное уравнение: D = 4^2 - 42(-96) = 16 + 768 = 784 x1,2 = (-4 ± √784) / (2*2) = (-4 ± 28) / 4 x1 = 6 см x2 = -8 см (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Следовательно, катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, где гипотенуза равна 10 см, а один из катетов на 2 см больше другого, воспользуемся теоремой Пифагора и алгебраическими методами.

Обозначим катеты как (a) и (b), причем (a < b). Пусть (a = x), а (b = x + 2).

Согласно теореме Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2 ]

Где (c) — это гипотенуза треугольника. Подставим известные значения: [ x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 ]

Раскроем скобки и упростим уравнение: [ x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 100 ] [ x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 ] [ 2x^2 + 4x + 4 = 100 ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 2x^2 + 4x + 4 - 100 = 0 ] [ 2x^2 + 4x - 96 = 0 ]

Упростим уравнение, разделив все его члены на 2: [ x^2 + 2x - 48 = 0 ]

Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac ] [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) ] [ D = 4 + 192 ] [ D = 196 ]

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня: [ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x_1, x_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} ] [ x_1, x_2 = \frac{-2 \pm 14}{2} ]

Находим корни: [ x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 ] [ x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 ]

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательное значение (x_2 = -8). Таким образом, (x = 6).

Следовательно, катеты треугольника: [ a = x = 6 \, \text{см} ] [ b = x + 2 = 6 + 2 = 8 \, \text{см} ]

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см.