Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а его площадь - 24 см^2. Найдите катеты треугольника

Для решения задачи найдем длины катетов прямоугольного треугольника, используя данные о гипотенузе и площади.

Обозначим катеты треугольника через ( a ) и ( b ). Гипотенуза равна 10 см.

1. Сначала используем формулу для площади прямоугольного треугольника:

   [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ]

   По условию, площадь равна 24 см², то есть:

   [ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 24 ]

   Отсюда получаем:

   [ a \cdot b = 48 ]

2. Далее используем теорему Пифагора:

   [ a^2 + b^2 = 10^2 ]

   Что дает нам:

   [ a^2 + b^2 = 100 ]

3. Итак, у нас есть система уравнений:

   [ \begin{cases} a \cdot b = 48 \ a^2 + b^2 = 100 \end{cases} ]

4. Решим систему уравнений.

   Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ):

   [ b = \frac{48}{a} ]

   Подставим это выражение во второе уравнение:

   [ a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100 ]

   Упростим уравнение:

   [ a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100 ]

   Умножим обе части уравнения на ( a^2 ), чтобы избавиться от дроби:

   [ a^4 + 2304 = 100a^2 ]

   Перенесем все члены в одну сторону:

   [ a^4 - 100a^2 + 2304 = 0 ]

   Обозначим ( x = a^2 ). Тогда уравнение примет вид:

   [ x^2 - 100x + 2304 = 0 ]

5. Решим квадратное уравнение:

   Найдем дискриминант:

   [ D = 100^2 - 4 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784 ]

   Найдем корни уравнения:

   [ x_{1,2} = \frac{100 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{100 \pm 28}{2} ]

   Получаем два корня:

   [ x_1 = \frac{128}{2} = 64 ]

   [ x_2 = \frac{72}{2} = 36 ]

6. Вернемся к переменной ( a ):

   [ a^2 = 64 \implies a = 8 \quad \text{или} \quad a = -8 \quad (\text{отрицательное значение не рассматриваем, т.к. длина не может быть отрицательной}) ]

   [ a^2 = 36 \implies a = 6 \quad \text{или} \quad a = -6 \quad (\text{отрицательное значение не рассматриваем, т.к. длина не может быть отрицательной}) ]

7. Найдем соответствующие значения ( b ):

   Если ( a = 8 ):

   [ b = \frac{48}{8} = 6 ]

   Если ( a = 6 ):

   [ b = \frac{48}{6} = 8 ]

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны ( 6 ) см и ( 8 ) см.

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулами для площади и гипотенузы прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле S = (a*b)/2, где a и b - катеты треугольника.

Также известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна h = √(a^2 + b^2), где h - гипотенуза, a и b - катеты треугольника.

Из условия задачи известно, что гипотенуза h = 10 см и площадь S = 24 см².

Подставим данные в формулы:

10 = √(a^2 + b^2) (1) 24 = (a*b)/2 (2)

Из уравнения (2) найдем выражение для a: a = 48/b

Подставим это выражение в уравнение (1):

10 = √((48/b)^2 + b^2)

100 = (48^2 / b^2) + b^2 100b^2 = 48^2 + b^4 b^4 - 100b^2 + 48^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно b^2. Решив его, найдем два значения b^2 и затем найдем соответствующие катеты a и b.