Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см,а разность длин катетов равна 7 см. Найдите длину...

Для того чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, когда известны гипотенуза и разность длин катетов, можно воспользоваться теоремой Пифагора и дополнительным уравнением, связующим катеты.

Обозначим катеты через (a) и (b) так, что (a > b). Из условия задачи известно:

1. Гипотенуза (c = 17) см.
2. Разность длин катетов (a - b = 7) см.

Сначала запишем теорему Пифагора для данного треугольника: [ a^2 + b^2 = c^2 ]

Подставляем значение гипотенузы: [ a^2 + b^2 = 17^2 ] [ a^2 + b^2 = 289 ]

Теперь используем второе уравнение, выражающее разность катетов: [ a - b = 7 ]

Для удобства решения выразим один из катетов через другой из второго уравнения. Пусть: [ a = b + 7 ]

Теперь подставим это выражение в уравнение, полученное из теоремы Пифагора: [ (b + 7)^2 + b^2 = 289 ]

Раскроем скобки и упростим уравнение: [ b^2 + 14b + 49 + b^2 = 289 ] [ 2b^2 + 14b + 49 = 289 ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 2b^2 + 14b + 49 - 289 = 0 ] [ 2b^2 + 14b - 240 = 0 ]

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: [ b^2 + 7b - 120 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение ( b^2 + 7b - 120 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] [ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) ] [ D = 49 + 480 ] [ D = 529 ]

Корень из дискриминанта: [ \sqrt{529} = 23 ]

Теперь найдем корни уравнения: [ b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ b = \frac{-7 \pm 23}{2} ]

Получаем два значения для (b): [ b_1 = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8 ] [ b_2 = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15 ]

Так как длина катета не может быть отрицательной, получаем: [ b = 8 ]

Теперь найдём (a), используя выражение (a = b + 7): [ a = 8 + 7 = 15 ]

Итак, длины катетов прямоугольного треугольника составляют: [ a = 15 \text{ см}, \quad b = 8 \text{ см} ]

Пусть один катет равен х см, тогда другой катет будет х - 7 см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: (х)^2 + (х - 7)^2 = 17^2 х^2 + x^2 - 14x + 49 = 289 2x^2 - 14x - 240 = 0 x^2 - 7x - 120 = 0 (x - 15)(x + 8) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для катетов: x = 15 см и x = -8 см

Так как длина не может быть отрицательной, то длина первого катета равна 15 см, а второго катета равна 15 - 7 = 8 см.