Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 30, а радиус вписанной окружности равен 6 найдите периметр...

Периметр прямоугольного треугольника равен 78.

Для начала найдем длины катетов прямоугольного треугольника. Обозначим их через a и b.

Так как радиус вписанной окружности равен 6, то можно составить уравнение a + b - 30 = 2 * 6. Отсюда получаем a + b = 42.

Также известно, что гипотенуза равна 30, то есть a^2 + b^2 = 30^2.

Теперь можем решить систему уравнений: a + b = 42 a^2 + b^2 = 900

Решив данную систему, найдем a = 24 и b = 18.

Теперь можем найти периметр прямоугольного треугольника: Периметр = a + b + гипотенуза = 24 + 18 + 30 = 72.

Итак, периметр данного прямоугольного треугольника равен 72.

Для того чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 30, а радиус вписанной окружности равен 6, можно воспользоваться несколькими теоремами и свойствами.

1. Основные обозначения и формулы:

   • Обозначим катеты треугольника как ( a ) и ( b ).
   • Гипотенуза ( c ) равна 30.
   • Радиус вписанной окружности (r) равен 6.

2. Формула радиуса вписанной окружности: В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно выразить через его стороны следующим образом: [ r = \frac{a + b - c}{2} ] Подставим известные значения: [ 6 = \frac{a + b - 30}{2} ] Умножим обе части на 2: [ 12 = a + b - 30 ] Добавим 30 к обеим частям уравнения: [ a + b = 42 ]

3. Использование теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2 ] Подставим значение гипотенузы: [ a^2 + b^2 = 30^2 ] [ a^2 + b^2 = 900 ]

4. Решение системы уравнений: У нас есть две системы уравнений: [ \begin{cases} a + b = 42 \ a^2 + b^2 = 900 \end{cases} ]

   Для решения этих уравнений выразим ( b ) через ( a ): [ b = 42 - a ]

   Подставим это значение в уравнение Пифагора: [ a^2 + (42 - a)^2 = 900 ] Раскроем скобки: [ a^2 + 1764 - 84a + a^2 = 900 ] Объединим подобные члены: [ 2a^2 - 84a + 1764 = 900 ] Приведем уравнение к стандартному виду: [ 2a^2 - 84a + 864 = 0 ] Разделим на 2: [ a^2 - 42a + 432 = 0 ]

5. Решение квадратного уравнения: Найдем корни квадратного уравнения: [ a = \frac{42 \pm \sqrt{42^2 - 4 \cdot 432}}{2} ] [ a = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 1728}}{2} ] [ a = \frac{42 \pm \sqrt{36}}{2} ] [ a = \frac{42 \pm 6}{2} ] Получаем два значения: [ a = \frac{48}{2} = 24 ] [ a = \frac{36}{2} = 18 ]

   Подставим значения обратно, чтобы найти ( b ): Если ( a = 24 ), то: [ b = 42 - 24 = 18 ] Если ( a = 18 ), то: [ b = 42 - 18 = 24 ]

   Таким образом, катеты равны 24 и 18.

6. Периметр треугольника: Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника, можем вычислить его периметр: [ P = a + b + c ] [ P = 24 + 18 + 30 = 72 ]

Ответ: Периметр данного треугольника равен 72.