Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 30, а радиус вписанной окружности равен 6 найдите периметр...

Периметр прямоугольного треугольника равен 78.

Для начала найдем длины катетов прямоугольного треугольника. Обозначим их через a и b.

Так как радиус вписанной окружности равен 6, то можно составить уравнение a + b - 30 = 2 * 6. Отсюда получаем a + b = 42.

Также известно, что гипотенуза равна 30, то есть a^2 + b^2 = 30^2.

Теперь можем решить систему уравнений: a + b = 42 a^2 + b^2 = 900

Решив данную систему, найдем a = 24 и b = 18.

Теперь можем найти периметр прямоугольного треугольника: Периметр = a + b + гипотенуза = 24 + 18 + 30 = 72.

Итак, периметр данного прямоугольного треугольника равен 72.

Для того чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 30, а радиус вписанной окружности равен 6, можно воспользоваться несколькими теоремами и свойствами.

1. Основные обозначения и формулы:

   • Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$.
   • Гипотенуза $c$ равна 30.
   • Радиус вписанной окружности $r$ равен 6.

2. Формула радиуса вписанной окружности: В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно выразить через его стороны следующим образом: $r=\frac{a+b-c}{2}$ Подставим известные значения: $6=\frac{a+b-30}{2}$ Умножим обе части на 2: $12=a+b-30$ Добавим 30 к обеим частям уравнения: $a+b=42$

3. Использование теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: $a^2+b^2=c^2$ Подставим значение гипотенузы: $a^2+b^2={30}^2$ $a^2+b^2=900$

4. Решение системы уравнений: У нас есть две системы уравнений: $\{\begin{array}{l}a+b=42a^2+b^2=900\end{array}$

   Для решения этих уравнений выразим $b$ через $a$: $b=42-a$

   Подставим это значение в уравнение Пифагора: $a^2+(42-a{)}^2=900$ Раскроем скобки: $a^2+1764-84a+a^2=900$ Объединим подобные члены: $2a^2-84a+1764=900$ Приведем уравнение к стандартному виду: $2a^2-84a+864=0$ Разделим на 2: $a^2-42a+432=0$

5. Решение квадратного уравнения: Найдем корни квадратного уравнения: $a=\frac{42\pm \sqrt{{42}^2-4\cdot 432}}{2}$ $a=\frac{42\pm \sqrt{1764-1728}}{2}$ $a=\frac{42\pm \sqrt{36}}{2}$ $a=\frac{42\pm 6}{2}$ Получаем два значения: $a=\frac{48}{2}=24$ $a=\frac{36}{2}=18$

   Подставим значения обратно, чтобы найти $b$: Если $a=24$, то: $b=42-24=18$ Если $a=18$, то: $b=42-18=24$

   Таким образом, катеты равны 24 и 18.

6. Периметр треугольника: Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника, можем вычислить его периметр: $P=a+b+c$ $P=24+18+30=72$

Ответ: Периметр данного треугольника равен 72.