Из точки А, не лежащей в плоскости а, проведены три луча, пересекающие плоскость а в точках B, C, D....

Для доказательства того, что точки B, C, D лежат на одной прямой, можно воспользоваться свойством плоскости, что через любые три точки можно провести только одну плоскость.

Пусть прямая b пересекает лучи AB, AC, AD в точках E, F, G соответственно. Так как точка A не лежит в плоскости abc, то прямая b не лежит в плоскости abc.

Таким образом, плоскость abc и прямая b пересекаются в точке H, которая не совпадает ни с одной из точек B, C, D. Поскольку плоскость abc проходит через точки B, C, D, а прямая b пересекает плоскость abc в точке H, следовательно, точки B, C, D лежат на одной прямой.

Таким образом, доказано, что точки B, C, D лежат на одной прямой.

Рассмотрим данную задачу с точки зрения проективной геометрии. Пусть точка ( A ) не лежит в плоскости ( \alpha ), и из этой точки проведены три луча ( AB ), ( AC ) и ( AD ), которые пересекают плоскость ( \alpha ) в точках ( B ), ( C ) и ( D ) соответственно. Пусть также имеется прямая ( b ), которая пересекает эти лучи в точках ( B' ), ( C' ) и ( D' ).

Для доказательства того, что точки ( B ), ( C ) и ( D ) лежат на одной прямой, используем следующие рассуждения:

1. Проективные свойства перспективности:

   • Пусть ( \pi ) — плоскость, содержащая прямую ( b ) и точку ( A ).
   • Заметим, что прямая ( b ) пересекает лучи ( AB ), ( AC ) и ( AD ) в точках ( B' ), ( C' ) и ( D' ) соответственно. Это означает, что точки ( B' ), ( C' ) и ( D' ) лежат на прямой ( b ), которая содержится в плоскости ( \pi ).

2. Перспективность и проекция:

   • Рассмотрим проекцию плоскости ( \pi ) на плоскость ( \alpha ) с центром проекции в точке ( A ).
   • Поскольку прямая ( b ) лежит в плоскости ( \pi ), ее проекция на плоскость ( \alpha ) будет некоторой прямой ( b' ).
   • Точки ( B' ), ( C' ) и ( D' ) при проекции на плоскость ( \alpha ) перейдут в точки ( B ), ( C ) и ( D ) соответственно.

3. Коллинеарность проекции:

   • Важно отметить, что прямая ( b' ) — это проекция прямой ( b ) на плоскость ( \alpha ). Поскольку ( B' ), ( C' ) и ( D' ) лежат на прямой ( b ), их проекции ( B ), ( C ) и ( D ) должны лежать на одной прямой ( b' ).

Таким образом, точки ( B ), ( C ) и ( D ) лежат на одной прямой в плоскости ( \alpha ), что и требовалось доказать.

Точки B, C, D лежат на одной прямой, так как они являются пересечениями прямой b с плоскостью а.