Из точки М проведен перпендикуляр МВ, равный 4 см, к плоскости прямоугольника ABCD. Угол MAB=45 градусов,...

Часть 1: Доказательство, что треугольники MAD и MCD прямоугольные

Треугольник MAD: Поскольку MB перпендикулярен плоскости ABCD, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и AD. Таким образом, в треугольнике MAD угол MDA является прямым. Следовательно, треугольник MAD — прямоугольный.

Треугольник MCD: Аналогично, поскольку MB перпендикулярен плоскости ABCD, он также перпендикулярен CD. Следовательно, в треугольнике MCD угол MCD является прямым, что делает треугольник MCD прямоугольным.

Часть 2: Нахождение сторон прямоугольника ABCD

Для нахождения сторон прямоугольника ABCD воспользуемся следующими соображениями:

1. Расстояние MA и MC: Так как углы MAB и MCB заданы, и MB перпендикулярен плоскости прямоугольника, то MA = MB / tan$MAB$ и MC = MB / tan$MCB$, где MAB = 45° и MCB = 30°. $MA=\frac{4\text{ см}}{\tan {45}^{\circ }}=4\text{ см}$ $MC=\frac{4\text{ см}}{\tan {30}^{\circ }}=4\sqrt{3}\text{ см}$

2. Расчёт сторон AB и BC: Так как MAD и MCD прямоугольные треугольники, то AD и CD соответственно равны MA и MC. $AD=4\text{ см}$ $CD=4\sqrt{3}\text{ см}$

Часть 3: Доказательство, что треугольник BDC является проекцией треугольника MDC на плоскость ABCD, и нахождение его площади

Доказательство: Поскольку MB перпендикулярен плоскости ABCD, то проекция треугольника MDC на плоскость ABCD будет треугольником BDC, где точки D и C проецируются на самих себя, а точка M проецируется в точку B.

Площадь треугольника BDC: Площадь треугольника в прямоугольных координатах можно найти по формуле: $S=\frac{1}{2}\times \text{основание}\times \text{высота}$ Здесь основание — BC, а высота — AD. $S=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{3}\text{ см}\times 4\text{ см}=8\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Таким образом, все части задания выполнены.