Известно что sin a 5/13 90°<a<180°. Найти cos a, tg a, ctg а?

Давайте подробно разберём задачу.

Условие:

Нам дано, что:

• (\sin a = \frac{5}{13}),
• Угол (a) находится во втором квадранте ((90^\circ < a < 180^\circ)).

Нужно найти:

• (\cos a),
• (\tan a) ((tg a)),
• (\cot a) ((ctg a)).

Решение:

1. Определяем знак тригонометрических функций во втором квадранте:

   • Во втором квадранте ((90^\circ < a < 180^\circ)):
     • (\sin a > 0),
     • (\cos a < 0),
     • (\tan a < 0),
     • (\cot a < 0).

   Это важно, так как знак функций зависит от квадранта.

1. Вспомним основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ] Подставим (\sin a = \frac{5}{13}): [ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{25}{169} + \cos^2 a = 1 ] Вычтем (\frac{25}{169}) из обеих частей: [ \cos^2 a = 1 - \frac{25}{169} ] Приведём к общему знаменателю: [ \cos^2 a = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} ] Найдём (\cos a): [ \cos a = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} ] Во втором квадранте (\cos a < 0), поэтому: [ \cos a = -\frac{12}{13} ]

1. Находим (\tan a): Формула для тангенса: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ] Подставим значения: [ \tan a = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{-12} = -\frac{5}{12} ]

1. Находим (\cot a): Формула для котангенса: [ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} ] Подставим значения: [ \cot a = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{-12}{5} = -\frac{12}{5} ]

Ответ:

[ \cos a = -\frac{12}{13}, \quad \tan a = -\frac{5}{12}, \quad \cot a = -\frac{12}{5}. ]

Для угла ( a ), который находится в диапазоне ( 90^\circ < a < 180^\circ ), известно, что ( \sin a = \frac{5}{13} ). Нам необходимо найти значения ( \cos a ), ( \tan a ) и ( \cot a ).

1. Находим ( \cos a ):

Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Подставим известное значение ( \sin a ):

[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 a = 1 ]

Вычислим ( \sin^2 a ):

[ \frac{25}{169} + \cos^2 a = 1 ]

Теперь выразим ( \cos^2 a ):

[ \cos^2 a = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} ]

Теперь найдём ( \cos a ):

[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} ]

Поскольку угол ( a ) находится во втором квадрате (( 90^\circ < a < 180^\circ )), то ( \cos a ) будет отрицательным:

[ \cos a = -\frac{12}{13} ]

1. Находим ( \tan a ):

Теперь мы можем найти тангенс угла ( a ):

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12} ]

1. Находим ( \cot a ):

Котангенс угла ( a ) является обратной величиной к тангенсу:

[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5} ]

Таким образом, мы получили следующие значения:

[ \cos a = -\frac{12}{13}, \quad \tan a = -\frac{5}{12}, \quad \cot a = -\frac{12}{5} ]