- Объяснение, почему любые два равносторонних треугольника подобны:
Равносторонний треугольник по определению имеет три равные стороны и три равных угла. Каждый угол в равностороннем треугольнике равен (60^\circ). Рассмотрим причины, по которым любые два равносторонних треугольника подобны:
Пропорциональность медиан, биссектрис и высот:
- В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают и делят его на два равных прямоугольных треугольника. Соответственно, все эти элементы пропорциональны сторонам треугольника. Если рассмотреть два равносторонних треугольника, то отношение их медиан, биссектрис и высот будет равным отношению их сторон. Это означает, что треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам).
По два равных угла (90 и 60 градусов):
- Утверждение неверно, так как в равностороннем треугольнике нет угла в (90^\circ). Все углы равны (60^\circ), поэтому этот пункт не подходит.
По два равных угла (60 градусов):
- В равностороннем треугольнике все углы равны (60^\circ). Соответственно, любые два равносторонних треугольника имеют по два одинаковых угла (60^\circ). Это удовлетворяет первому признаку подобия треугольников (если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны).
Таким образом, любые два равносторонних треугольника подобны, так как у них все углы равны по (60^\circ), что соответствует первому признаку подобия треугольников.
- Задача с основаниями АВ и CD треугольников АВЕ и CDE:
Основания (AB) и (CD) треугольников (ABE) и (CDE) параллельны и равны соответственно 24,5 м и 39,2 м. Отрезки (AC) и (BD) равны соответственно 12,6 м и 11,4 м. Найти (AE) и (BE).
Рассмотрим треугольники (ABE) и (CDE). Поскольку (AB \parallel CD) и (AB = 24,5 \text{ м}), (CD = 39,2 \text{ м}), треугольники (ABE) и (CDE) будут подобны по признаку подобия треугольников с параллельными основаниями (по двум углам: один угол общий, второй угол накрест лежащий при параллельных прямых и секущей).
[
\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}
]
Рассчитаем отношение:
[
\frac{AB}{CD} = \frac{24,5}{39,2}
]
Для упрощения деления, нужно разделить:
[
\frac{24,5}{39,2} \approx 0,625
]
То есть, отношение сторон треугольников (ABE) и (CDE) равно 0,625.
Обозначим (AE) и (BE) за (x) и (y) соответственно. Тогда:
[
\frac{AE}{CE} = 0,625 \implies AE = 0,625 \cdot CE
]
[
\frac{BE}{DE} = 0,625 \implies BE = 0,625 \cdot DE
]
Поскольку (AC = 12,6 \text{ м}) и (BD = 11,4 \text{ м}):
[
CE = AC - AE = 12,6 - AE
]
[
DE = BD - BE = 11,4 - BE
]
Подставляем (x) и (y):
[
AE = 0,625 \cdot (12,6 - AE)
]
[
BE = 0,625 \cdot (11,4 - BE)
]
Решаем уравнения:
[
AE = 0,625 \cdot 12,6 - 0,625 \cdot AE
]
[
AE + 0,625 \cdot AE = 0,625 \cdot 12,6
]
[
AE \cdot (1 + 0,625) = 0,625 \cdot 12,6
]
[
AE \cdot 1,625 = 7,875
]
[
AE \approx 4,846
]
Аналогично решаем для (BE):
[
BE = 0,625 \cdot 11,4 - 0,625 \cdot BE
]
[
BE + 0,625 \cdot BE = 0,625 \cdot 11,4
]
[
BE \cdot (1 + 0,625) = 0,625 \cdot 11,4
]
[
BE \cdot 1,625 = 7,125
]
[
BE \approx 4,385
]
Таким образом, (AE \approx 4,846 \text{ м}) и (BE \approx 4,385 \text{ м}). Признак подобия треугольников (ABE) и (CDE) - по двум углам (один угол общий, второй угол накрест лежащий при параллельных прямых и секущей).
