Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 5 см и 13 см. Найдите 1) синус угла,...

1) Сначала найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: ( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 13^2} = \sqrt{25 + 169} = \sqrt{194} = 14 \, см )

Теперь вычислим тригонометрические функции углов: 1) Синус угла, противолежащего меньшему катету: ( \sin\alpha = \frac{5}{14} \approx 0.3571 ) 2) Косинус угла, прилежащего к большему катету: ( \cos\beta = \frac{5}{14} \approx 0.3571 ) 3) Тангенс угла, противолежащего меньшему катету: ( \tan\gamma = \frac{5}{13} \approx 0.3846 )

2) Для равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см, можно найти высоту через теорему Пифагора: ( h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, см )

Теперь найдем синус угла при основании треугольника: ( \sin\alpha = \frac{h}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 )

3) Углы трапеции можно найти, используя теорему косинусов. Обозначим углы как A, B, C и D, причем угол A и D - углы при основаниях, а угол B и C - вершины трапеции.

По теореме косинусов для треугольника ACD: ( \cos A = \frac{AD^2 + CD^2 - AC^2}{2 \cdot AD \cdot CD} = \frac{10^2 + 4^2 - 6^2}{2 \cdot 10 \cdot 4} = \frac{100 + 16 - 36}{80} = \frac{80}{80} = 1 ) Отсюда получаем, что угол A равен 0 градусов.

Аналогично для угла D: ( \cos D = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{4^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16 + 36 - 16}{48} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0.75 ) Угол D примерно равен 41.41 градусов.

Углы B и C равны, так как трапеция равнобокая. Поэтому угол B и C равны примерно 69.29 градусов.

1) Синус угла, противолежащего меньшему катету, равен 5/13. 2) Косинус угла, прилежащего к большому катету, равен 12/13. 3) Тангенс угла, противолежащего меньшему катету, равен 5/12.

Ответ на задание 2: Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен 4/5.

Ответ на задание 3: Углы трапеции ABCD равны 60 градусов.

Задание 1

Для начала определим второй катет прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

[ a^2 + b^2 = c^2 ]

где ( a = 5 ) см — меньший катет (по условию), а ( c = 13 ) см — гипотенуза. Теперь найдем ( b ):

[ 5^2 + b^2 = 13^2 ] [ 25 + b^2 = 169 ] [ b^2 = 144 ] [ b = 12 ] см

Теперь можно найти: 1) Синус угла, противолежащего меньшему катету. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: [ \sin(\alpha) = \frac{5}{13} ]

2) Косинус угла, прилежащего к большему катету. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: [ \cos(\alpha) = \frac{12}{13} ]

3) Тангенс угла, противолежащего меньшему катету. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: [ \tan(\alpha) = \frac{5}{12} ]

Задание 2

Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковые стороны по 5 см каждая. Разделим основание на две равные части по 3 см каждая и рассмотрим один из получившихся прямоугольных треугольников с гипотенузой 5 см и одним из катетов 3 см. Используем теорему Пифагора для нахождения второго катета: [ 3^2 + b^2 = 5^2 ] [ 9 + b^2 = 25 ] [ b^2 = 16 ] [ b = 4 ] см (высота равнобедренного треугольника)

Синус угла при основании равен отношению противоположного катета (высоты) к гипотенузе (боковой стороне): [ \sin(\gamma) = \frac{4}{5} ]

Задание 3

В равнобокой трапеции две стороны (боковые) равны, то есть ( AB = CD = 4 ) см, а две другие стороны различны (( BC = 6 ) см, ( AD = 10 ) см). Сначала проведем высоту из точки ( B ) к стороне ( AD ), образуя два прямоугольных треугольника. Поскольку трапеция равнобокая, то отрезки, на которые делится ( AD ), будут равны, то есть по 2 см с каждой стороны, и центральная часть ( 6 ) см.

Теперь мы знаем, что ( \angle A = \angle D ) и ( \angle B = \angle C ). Так как сумма углов четырехугольника равна ( 360^\circ ), а углы при основании (вершины ( B ) и ( C )) равны, то можно рассчитать углы, используя свойства равнобокой трапеции и прямоугольных треугольников, образованных высотой. Полученные углы будут равны ( \angle A = \angle D \approx 53.13^\circ ) (исходя из арктангенса отношения катетов) и ( \angle B = \angle C \approx 126.87^\circ ).